Matematické Fórum

martiiik8 · 04. 11. 2016 13:35

Prosím o radu, jak dokázat následující větu:

$S,T$ jsou podprostory konečně rozměrného euklidovského vektorového prostoru. Pak platí $(S \cap T)^{\perp} = S^{\perp} + T^{\perp}$ .

Děkuji.

Rumburak

↑ martiiik8:

Nechť $\langle u, v\rangle$ značí uvažovaný skalární součin vektorů $u, v$ .

Za uvedených předpokladů máme dokázat, že výroky

(1) $a \in (S \cap T)^{\perp}$ ,

(2) $a \in S^{\perp}+ T^{\perp}$

jsou spolu ekvivalentní. Rozepišme je:

(1') $(\forall x \in S \cap T) ( \langle a, x\rangle = 0)$ ,

(2') $(\exists s \in S^{\perp})(\exists t \in T^{\perp})(a = s + t)$ .

I. Předpokládejme, že platí (2'). Vezměme $x \in S \cap T$ . Potom pro $a$ z výroku (2') bude $\langle a, x\rangle = ?$ .

II. Předpokládejme, že platí (1'). Hledej vektory $s, t$ , o nichž hovoří výrok (2').