Matematické Fórum

0gar · 05. 11. 2016 23:11

Mam zadany vektory stran rovnobezniku (u,v) pomoci 3 jinych vektoru a,b,c. Znam uhly (a,b), (a,c), (b,c) i normy a,b,c.

$\vec{u}=\vec{a}-\vec{c}$
$\vec{v}=\vec{b}+\vec{c}$

Jestli tomu spravne rozumim, tak obsah rovnobezniku je norma vektoroveho soucinu jeho stran:
$||\vec{u} x \vec{v}||$

V mem pripade tedy:
$||(\vec{a}-\vec{c})x(\vec{b}+\vec{c})||$

Kdyz to roznasobim, tak dostanu:
$||\vec{a}x\vec{b}+\vec{a}x\vec{c}+\vec{b}x\vec{c}||$

No jo, ale jak z toho tu normu(obsah) vytriskat?

Bati · 06. 11. 2016 10:38

Ahoj ↑ 0gar:.
Pochopil jsem to tak, že chceš pracovat bez souřadnic těch vektorů (jinak by sis mohl zvolit bázi a využít definice vekt. souč.). Můžeš využít identit
$|u\times v|=|u||v|\sin(\sphericalangle(u,v))$
a
$u\cdot v=|u||v|\cos(\sphericalangle(u,v))$ ,
ze kterých také plyne
$|u\times v|^2+(u\cdot v)^2=|u|^2|v|^2$ .

Potom lze psát
$|u\times v|^2=|u|^2|v|^2-|u\cdot v|^2\nl =((a-c)\cdot(a-c))((b+c)\cdot(b+c))-((a-c)\cdot(b+c))^2\nl =(|a|^2+|c|^2-2a\cdot c)(|b|^2+|c|^2+2b\cdot c)-(a\cdot b+a\cdot c-b\cdot c-|c|^2)^2$ ,
a tedy
$|u\times v|=\binom{\mkern-50mu(|a|^2+|c|^2-2|a||c|\cos(\sphericalangle(a,c)))(|b|^2+|c|^2+2|b||c|\cos(\sphericalangle(b,c)))}{\qquad-(|a||b|\cos(\sphericalangle(a,b))+|a||c|\cos(\sphericalangle(a,c))-|b||c|\cos(\sphericalangle(b,c))-|c|^2)^2}^{\frac12}$ .

0gar · 06. 11. 2016 11:51

Diky.
Dosazovani do vzorce rozumim, a vysledek vychazi, jen nechapu, jak se z tech 2 znamych identit pro skalarni a vektorovy soucin dostanu k tomu vzorci:
$|u\times v|^2+(u\cdot v)^2=|u|^2|v|^2$

Al1 · 06. 11. 2016 12:03 — Editoval Al1 (06. 11. 2016 12:04)

↑ 0gar:

Zdravím,

jen využiješ rovnice

$(|u\times v|)^2=(|u||v|\sin(\sphericalangle(u,v)))^2$ sečteš s rovnicí $(u\cdot v)^2=(|u||v|\cos(\sphericalangle(u,v)))^2$ a využiješ goniometrický vztah $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

0gar · 06. 11. 2016 12:36

Dekuji mnohokrat.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2016 23:11

Obsah rovnobezniku

#2 06. 11. 2016 10:38

Re: Obsah rovnobezniku

#3 06. 11. 2016 11:51

Re: Obsah rovnobezniku

#4 06. 11. 2016 12:03 — Editoval Al1 (06. 11. 2016 12:04)

Re: Obsah rovnobezniku

#5 06. 11. 2016 12:36

Re: Obsah rovnobezniku

Zápatí