Matematické Fórum

Gibron · 08. 11. 2016 15:26 — Editoval Gibron (08. 11. 2016 15:28)

Dobrý den, mám problém s odvozením následujícího vzorečku, nevysvětlil by mi to někdo?

$[A+bb']^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+b'A^{-1}b}A^{-1}bb'A^{-1}$
(A je matice (nxn), b je vektor (nx1) a apostrof značí transpozici)
Odvozuji ho takto:
$[A+bb']^{-1}=A^{-1}+X$
$I=A^{-1}(A+bb')+X(A+bb')$
$I=I+A^{-1}bb'+X(A+bb')$
$-A^{-1}bb'(A+bb')^{-1}=X$
Nyní dosadím znovu za $(A+bb')^{-1}=A^{-1}+X$
$-A^{-1}bb'(A^{-1}+X)=X$
$-A^{-1}bb'A^{-1}=(A^{-1}bb'+I)X$
$-A^{-1}bb'A^{-1}=(A^{-1}bb'+I)X$
$-\frac{1}{(A^{-1}bb'+I)}A^{-1}bb'A^{-1}=X$
Tedy všechno sedí, až na jmenovatel, kde mě vychází matice, ale ve vzorečku, který jsem našel je skalár.
Vysvětlil by mi někdo prosím, jak se z těch mých matic dospěje k tvaru, kde je ve jmenovateli skalár?

To byl můj první problém.
Druhý problém je, že ve skutečnosti $bb'$ není součin dvou vektorů, ale součin dvou matic (řekněme $X^{T}X$ , tedy matice rozměru (nxm)(mxn)). Můj dotaz je, zda-li v tu chvíli, kdy už nemám vektory vzoreček neplatí právě tak, jak jsem ho odvozoval já, tedy:

$[A+X^{T}X]^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{(A^{-1}X^{T}X+I)}A^{-1}X^{T}XA^{-1}$

Díky moc za odpověď.

Brano · 09. 11. 2016 15:11

V tomto pripade by som povedal, ze je rozdiel taky vzorec odvodit a dokazat.

dokaz urobis lahko: oznacme si cislo $c=b'A^{-1}b$ - treba si uvedomit, ze dany vzorec ma vyznam iba ak je $A$ regularna (t.j. ma inverznu) a $c\not=-1$ . Pocitajme
$\left[A^{-1}-\frac{A^{-1}bb'A^{-1}}{1+c}\right][A+bb']=I+A^{-1}bb'-\frac{1}{1+c}[A^{-1}bb'+A^{-1}b\underbrace{b'A^{-1}b}_{=c}b']=$
$=I+A^{-1}bb'-\frac{1}{1+c}A^{-1}bb'(1+c)=I$
ked ich vynasobime v opacnom poradi, tak podobne dostaneme tiez $I$ - a teda sa naozaj jedna o prislusnu inverznu maticu.

ako na taky vzorcek prist? da sa uvahou odvodit pre nejake specialne matice a potom uz staci iba predchadzajuci dokaz na zovseobecnenie. Tu je jedna moznost odvodenia co mi napadla:
$[A+bb']^{-1}=[A(I+A^{-1}bb')]^{-1}=(I+\underbrace{A^{-1}bb'}_{:=X})^{-1}A^{-1}=(I-X+X^2-X^3+...)A^{-1}=$
$=(I-A^{-1}bb'+A^{-1}b\underbrace{b'A^{-1}b}_{=c}b'-A^{-1}b\underbrace{b'A^{-1}bb'A^{-1}b}_{=c^2}b'+...)A^{-1}=$
$=[I-A^{-1}bb'(1-c+c^2-...)]A^{-1}=\left(I-A^{-1}bb'\frac{1}{1+c}\right)A^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}bb'A^{-1}}{1+c}$
(odvodenie je platne pre $||X||<1$ a $|c|<1$ )