Matematické Fórum

Nadruhu · 11. 11. 2016 16:27

Ahojte, mam dalsiu ulohu uz tretiu.

V geometrickej postupnosti $b_n$ je jej 10. člen o 15 väčší ako 7. člen a jej 9. člen je o 10 menší ako 8. člen. Vypočítajte súčet prvých 13 členov tejto postupnosti. Aké číslo treba dať miesto čísla 15, aby mala úloha 1 riešenie.

Myslim ze to nebude mat riesenie pretoze zatial co 10. clen je vacsi ako 7. clen - 9. clen je mensi ako 8. clen a to je blbost pri geometrickej postupnosti ci nie?

Al1 · 11. 11. 2016 16:57 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 16:57)

↑ Nadruhu:

Zdravím,

představ si třeba posloupnost $a_7=-64, a_8=32, a_9=-16,a_{10}= 8$

Je geometrická s $q=-\frac{1}{2}$ . desátý člen je větší než sedmý a devátý menší než osmý.

Eratosthenes · 11. 11. 2016 17:01

ahoj ↑ Nadruhu:,

já bych se v úsudku neukvapoval a snažil se vyřešit soustavu

$a_7q^3=a_7+15$
$a_7q^2=a_7q+10$

Al1 · 11. 11. 2016 17:08

↑ Eratosthenes:

Zdravím,

devátý člen je o 10 menší než osmý.

Nadruhu · 11. 11. 2016 17:10

to staci vyriesit iba sustavu
$a_7q^3=a_7+15$
$a_7q^2=a_7q+10$
?

Al1 · 11. 11. 2016 17:13 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 17:13)

↑ Nadruhu:

Ano, jen ta soustava bude
$a_7q^3=a_7+15$
$a_7q^2=a_7q-10$
A měl bys mít členy označeny b, protože posloupnost je zadaná jako $b_n$

↑ Eratosthenes: vyjádřil osmý, devátý a desátý člen pomocí sedmého členu a kvocientu.

Nadruhu

po niekolkych upravach som sa dopracoval k rovnici
$2q^3+3q^2-1=0$
ako dalej? neviem obecne riesit tuto rovnicu ale myslim ze vyhovuje $q=-1$ ako sa k tomu ale dopracovat? vydelil som polynom polynomom $q+1$ a dostal som kvadraticku rovnicu $2q^2+y-1=0$ ktora ma korene $q=-1$ a $q=1/2$

Al1 · 11. 11. 2016 17:51 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 18:03)

↑ Nadruhu:

Mně vychází rovnice $2q^{2}+5q+2=0$ za předpokladu, že $q\neq1$

Rovnice je kvadratická, tu umíš vyřešit.

Eratosthenes · 11. 11. 2016 18:33

↑ Al1:

jasně - chybička se vloudí :-)

Nadruhu · 11. 11. 2016 18:40

riesenim je $q=-2$ , $q=-1/2$
co teraz ked nam vysli dva riesenia?

Al1 · 11. 11. 2016 18:53

↑ Nadruhu:

budeš mít dvě posloupnosti, které vyhovují zadání. Spočítej pro každý kvocient první člen. A pak součet prvních 13 členů.

Nadruhu · 11. 11. 2016 19:03

pre $q=-2$ mam $a_7 (-2)^3=a_7+15$
$-8a_7-a_7=15$
$-8a_7=15$
$a_7=-\frac{15}{7}$
a pre $q=-\frac{1}{2}$ mame $a_7(-\frac{1}{2})^2=a_7+15$
$-\frac{a_7}{8}=a_7+15$
$a_7=-\frac{40}{3}$

Al1 · 11. 11. 2016 19:11 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:23)

↑ Nadruhu:

Pro součet prvních 13 členů GP potřebuješ první člen a kvocient, abys mohl dosadit do známého vzorce. Takže dopočítej první člen.

Pozor, chyba v zápise $a_7(-\frac{1}{2})^3=a_7+15$

Nadruhu

no kedze plati $a_n=a_1q^{n-1}$
tak
$-\frac{15}{7}=a_1(-2)^6$
a odtial $a_1=-\frac{15}{448}$ v prvom pripade a v druhom:
$a_7=-\frac{40}{3}$
teda
$-\frac{40}{3}=a_1(-\frac{1}{2})^6$
$a_1=-\frac{2560}{3}$

Al1 · 11. 11. 2016 19:18

↑ Nadruhu:

OK, pokračuj.

Nadruhu

no kedze plati
$s_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$
tak sucet prvyhc 13 clenov bude
$s_13=-\frac{40}{3}\frac{(-2)^13-1}{-2-1}$
$s_13=-\frac{40}{3}\frac{8192-1}{-2-1}$
$s_13=-\frac{40}{3}2731$
$s_13=-\frac{109240}{3}$

pre prvu moznost a pre druhu to bude:
$s_13=-\frac{2560}{3}\frac{(-\frac{1}{2})^13-1}{-\frac{1}{2}-1}$
$s_13=-\frac{13982720}{3}$

Al1 · 11. 11. 2016 19:27 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:46)

↑ Nadruhu:

pozor, unikla mi tvá chyba v příspěvku #12

Nadruhu · 11. 11. 2016 19:29

a je to spravne? nejake divoke cisla mi tam vysli..

Al1 · 11. 11. 2016 19:30 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:45)

↑ Nadruhu:

Promiň, tak teď vidím chybu, je v příspěvku #12:
pro $q=-2$
$-8a_7-a_7=15$ vede na
$-9a_{7}=15\nl a_{7}=-\frac{15}{9}=-\frac{5}{3}$

Pak

$a_{1}=-\frac{5}{192}$
$s_{13}=-\frac{13655}{192}$

pro $q=-\frac{1}{2}$ je první člen správně, součet pak $s_{13}=-\frac{13655}{24}$

Nadruhu · 11. 11. 2016 19:31

tak ok, dik za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2016 16:27

postupnost 3

#2 11. 11. 2016 16:57 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 16:57)

Re: postupnost 3

#3 11. 11. 2016 17:01

Re: postupnost 3

#4 11. 11. 2016 17:08

Re: postupnost 3

#5 11. 11. 2016 17:10

Re: postupnost 3

#6 11. 11. 2016 17:13 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 17:13)

Re: postupnost 3

#7 11. 11. 2016 17:26 — Editoval Nadruhu (11. 11. 2016 17:30)

Re: postupnost 3

#8 11. 11. 2016 17:51 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 18:03)

Re: postupnost 3

#9 11. 11. 2016 18:33

Re: postupnost 3

#10 11. 11. 2016 18:40

Re: postupnost 3

#11 11. 11. 2016 18:53

Re: postupnost 3

#12 11. 11. 2016 19:03

Re: postupnost 3

#13 11. 11. 2016 19:11 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:23)

Re: postupnost 3

#14 11. 11. 2016 19:15 — Editoval Nadruhu (11. 11. 2016 19:18)

Re: postupnost 3

#15 11. 11. 2016 19:18

Re: postupnost 3

#16 11. 11. 2016 19:25 — Editoval Nadruhu (11. 11. 2016 19:29)

Re: postupnost 3

#17 11. 11. 2016 19:27 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:46)

Re: postupnost 3

#18 11. 11. 2016 19:29

Re: postupnost 3

#19 11. 11. 2016 19:30 — Editoval Al1 (11. 11. 2016 19:45)

Re: postupnost 3

#20 11. 11. 2016 19:31

Re: postupnost 3

Zápatí