Matematické Fórum

m-sey · 13. 11. 2016 01:13

$\lim_{x\to0}1-\cos x/x\wedge 2$

Freedy · 13. 11. 2016 01:36

A copak je za problém?

Ukážu ti tři postupy jak se daná limita dá řešit.

1) Algebraická úprava a znalost limity sin(x) / x
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to0}\frac{1-\cos ^2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin ^2x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

2) L'Hospitalovo pravidlo - (typ 0/0) a funkce v jmenovateli (x^2) je nenulová na nějakém okolí bodu 0. Pak
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$

3) Taylor - funkci cos(x) si rozvineme do potřebného řádu
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{1-(1-\frac{x^2}{2} + o(x^2))}{x^2} = \lim_{x\to0}\bigg(\frac{1}{2}+\frac{o(x^2)}{x^2}\bigg)=\frac{1}{2}$

Jsou samozřejmě i jiné postupy. Pokud bys tě zajímala limita sin(x) / x, tak záleží, jak jste si definovali funkci sinus.

m-sey · 13. 11. 2016 01:41 — Editoval m-sey (13. 11. 2016 01:46)

$\lim_{x\to0}\frac{\text{tg}x-\sin 2x}{x}$ ↑ Freedy:Děkuji, v limitách jsem teprve začátečník. V mezičase mi vyšlo první řešení stejně, ale narazil jsem na další problémový příklad: \lim_{x\to0}\frac{\text{tg}x-\sin 2x}{x}.

Freedy · 13. 11. 2016 01:45

A kdepak je problém? Využíváš pouze znalosti limity sin(x) / x.
$\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{2x}\cdot 2 = 2$
(zde využíváš větu o limitě složené funkce)

Nebo pomocí rozkladu sin(2x) dostáváš
$\lim_{x\to0}\frac{2\sin x\cos x}{x} = 2$

m-sey · 13. 11. 2016 01:58

↑ Freedy:Bohužel, nechápu to, mě stále vychází $- \frac{cos2x}{cosx}$ .

m-sey · 13. 11. 2016 02:02

Neuvědomil jsem si jednu zásadu, už mi to vyšlo, díky.

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2016 01:13

Limita

#2 13. 11. 2016 01:36

Re: Limita

#3 13. 11. 2016 01:41 — Editoval m-sey (13. 11. 2016 01:46)

Re: Limita

#4 13. 11. 2016 01:45

Re: Limita

#5 13. 11. 2016 01:58

Re: Limita

#6 13. 11. 2016 02:02

Re: Limita

Zápatí