Matematické Fórum

Jakub1 · 13. 11. 2016 16:32

Dobrý deň, potreboval by som pomôcť s príkladom:

"2n stoličiek je rovnomerne rozostavaných za okrúhlym stolom. Náhodne si za tento stôl sadne $2n$ ľudí, ktorí tvoria $n$ párov. Označme $X$ náhodnú veličinu, ktorá zisťuje počet párov, ktoré sedia oproti sebe. Aká je stredná hodnota $X$ ?"

Moje riešenie: použil som indikátorové náhodné veličiny, ktoré som definoval takto:
• $Y_i=1$ , ak i-ty pár sedí oproti sebe, pre $1\le i\le n$
• $Y_i=0$ , ak i-ty pár nesedí oproti sebe.

Potom $X = Y_1 + Y_2 + ... + Y_n$

Teraz pravdepodobnosť, že prvý pár bude sedieť oproti sebe je $P(Y_1=1)=\frac{1}{2n-1}$ .
Pravdepodobnosť, že druhý pár bude sedieť oproti sebe: $P(Y_2=1)=\frac{1}{2n-1}$ , ...

Teda $E(X)=E(Y_1)+E(Y_2)+...+E(Y_n) =\frac{n}{2n-1}$ .

Problém však je, že pre $n=3$ dostávam rozdelenie pravdepodobností (pracne som ho vypočítal) takéto:
$P(0)=8/15, \ P(1)=2/5, \ P(2) = 1/15$ . Z toho zrejme stredná hodnota je $E(X) = 0 +2/5+2\cdot1/15=8/15$ Po dosadení do vzorca by však $E(X) = 3/5 \neq 8/15$ .

Rovnako pre $n=4$ dostávam rozdelenie pravdepodobnosti takéto:
$P(0) = 4/7, \ P(1) = 32/105, \ P(2) = 4/35, \ P(3) = 1/105$ a stredná hodnota $E(X)=59/105 \neq 4/7$ .

Musí mi teda niečo unikať a niekde je problém. Môže mi niekto pomôcť? Ďakujem.

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2016 16:32

Stredná hodnota

Zápatí