Matematické Fórum

liamlim

Ahoj,

Dnes jsem narazil na zajímavý vztah
$\frac{x^n-y^n}{x-y} = \sum_{n\ge 2k+1 \ge 1}{n-k-1\choose k}(-1)^k(xy)^k(x+y)^{n-2k-1}$

Což speciálně dává kupříkladu:
$\frac{x^5-y^5}{x-y} = (x+y)^4 - 3xy(x+y)^2 + x^2y^2$

Ten vztah se mi celkem líbí, protože umí hodnoty tvaru $\frac{x^n-y^n}{x-y}$ vyjádřit pouze za pomocí $xy$ a $x+y$ . Jistě by bylo možné vymyslet nějaké úlohy, které by tohoto využívaly. Dokázat ho taky umím, ale ten důkaz je až moc komplikovaný.

Neměl by někdo nápad jak co nejjednoduššími úpravami (ideálně středoškolskými) toto dokázat? Díky!

edit: snad jsem trefil kategorii. původně jsem chtěl toto napsat jinam ale jak vidím se nezadařilo. snad nevadí.

vanok · 15. 11. 2016 06:12 — Editoval vanok (15. 11. 2016 06:13)

Ahoj ↑ liamlim:,
Tvoj "objav" sa oplati prehlbit.
Mohol by si specialne si pozriet pojmy https://en.m.wikipedia.org/wiki/Symmetric_polynomial
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities
Co ti ukaze ze ide o dolezity algebricky pojem. ( je to velmy zaujimave!)

Dobre pokracovanie.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2016 22:00 — Editoval liamlim (14. 11. 2016 22:47)

důkaz

#2 15. 11. 2016 06:12 — Editoval vanok (15. 11. 2016 06:13)

Re: důkaz

Zápatí