Matematické Fórum

janusz · 15. 11. 2016 16:37

Zdravim,

potreboval bych pomoci s nasledujicim ukolem. Jde o vypocet objemu kuloveho vrchliku. Vim, ze na to existuje vzorecek, ale chtel bych to udelat pomoci trojneho integralu, nicmene se porad nemuzu dopocitat

Koule ma $r=10$ a vrchlik vysku $v=5$

chtel jsem to prevest na sfericke souradnice, takze dostanu
$x=r*\sin \vartheta \cos \varphi ; y=r*\sin \vartheta \sin \varphi ; z=r*\cos \vartheta$

$J=r^{2}$

jenze ted mam Problem se stanovenim mezi pro ten vrchlik. myslel jsem, ze to bude

$5\le r\le 10$
$\pi /6\le \vartheta \le \pi /2$
$0\le \varphi \le \pi$

ale nevychazi to...

pokud by byla moznost, take by me zajimal objem vrstvy pod timto vrchlikem tzn pro

$0\le r\le 5$ ;
$0\le \vartheta \le \pi /6$

Dekuji mnohokrat za radu.

H.

LukasM · 15. 11. 2016 18:14 — Editoval LukasM (15. 11. 2016 18:14)

↑ janusz:
Pokud vrchlíkem myslíš kus koule odříznutý rovinou, pak trochu pochybuji o vhodnosti sférických souřadnic. Nikde tam není vymezena ta rovná část toho objektu. Jako vhodnější se mi jeví použití cylindrických souřadnic. Ale možná jsem jen nepochopil o čem je přesně řeč.

Eratosthenes · 15. 11. 2016 18:24

ahoj ↑ janusz:,

myslím, že to zbytečně komplikuješ. Já bych to počítal jako objem rotačního tělesa jednoduchým integrálem:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/30660_vrchlik.png

janusz · 15. 11. 2016 19:56

↑ Eratosthenes:diky za radu, tento postup s integralem znam, jde mi hlavne o stanoveni mezi trojneho integralu, kdyz integruju jen cast te koule..

Prosim alespon o naznaceni..

Diky moc

LukasM · 16. 11. 2016 08:55 — Editoval LukasM (16. 11. 2016 08:56)

↑ janusz:
Dobře, tak pokud ten vrchlík budeme tvořit s osou ve směru $\vartheta=0$ , tak je zřejmé, že úhel $\varphi\in [0;2\pi)$ (vrchlík má být v úhlu $\varphi$ symetrický). Úhel $\vartheta$ poběží zcela zřejmě od 0 do poloviny vrcholového úhlu vrchlíku (myslím úhlu, pod kterým je vrchlík vidět ze středu koule). Ten jistě nebude problém spočítat. Ovšem problém bude s radiální souřadnicí. Tam totiž ta spodní mez bude záviset na úhlu $\vartheta$ - pro každý úhel $\vartheta$ ji musíš nastavit tak, aby integrál začal počítat právě od té roviny "řezu", která je od středu pokaždé jinak daleko. Horní mez bude R. A taky máš špatně jakobián.

Výpočet v cylindrických souřadnicích bude dle mého jednodušší - tam to vlastně odpovídá tomu, co píše Eratosthenes. Oběma způsoby jsem to pro trénink zkusil spočítat a vyšlo mi to stejně, ale i tak nezaručuji, že jsem se někde nespletl.

janusz · 16. 11. 2016 16:01

Dekuju za odpoved.

Jakobian jsem spatne opsal z papiru, omlouvam se.

Ok, chapu, ze
$\varphi \in \langle0;2*\pi \rangle$
$\vartheta \in \langle0;\frac{\pi }{3}\rangle$

muzete prosim jeste rozvest, jak je to s tim R?

predpokladal jsem, ze by melo byt v mezich $\langle5;10\rangle$ , ale vy rikate, ze je treba to udelat v zavislosti na $\vartheta$ , coz z nakresu chapu, ale neni mi jasne, jak to vyjadrit, stale mi vychazi jen ten interval..

Dekuji mnohokrat za pomoc

LukasM · 16. 11. 2016 16:56

↑ janusz:
Tak si nakresli rez, podobne jako jsi to delal kdyz jsi pocital mez pro uhel theta. Akorat misto te mezni primky nakresli nejakou s mensim uhlem. Ten si nejak oznac a pak jen dopocitej jak daleko od stredu te koule je prusecik te primky s rovinou. To je spodni mez radialni souradnice pro tento uhel.

janusz · 16. 11. 2016 17:38

Aha..takže jestli to chápu dobře, je treba stanovit minR a maxR pro každý úhel.

Vyšlo mi to $\frac{5}{\cos \vartheta }\le r\le 10$ A výsledek vypadá v pořádku..

Dekuju mockrát

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2016 16:37

objem kuloveho vrchliku trojny integral

#2 15. 11. 2016 18:14 — Editoval LukasM (15. 11. 2016 18:14)

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

#3 15. 11. 2016 18:24

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

#4 15. 11. 2016 19:56

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

#5 16. 11. 2016 08:55 — Editoval LukasM (16. 11. 2016 08:56)

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

#6 16. 11. 2016 16:01

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

#7 16. 11. 2016 16:56

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

#8 16. 11. 2016 17:38

Re: objem kuloveho vrchliku trojny integral

Zápatí