Matematické Fórum

thifferx · 14. 11. 2016 21:17

Zdravím všechny, mám takový problém s vyřešením průběhu funkce $arcsin(\frac{2x}{x^{2}+2})$

Mám správně vyjádřenou první derivaci?
Odkaz

Budu rád za jakoukoliv pomoc.
Předem děkuji

Pritt · 14. 11. 2016 21:37

↑ thifferx:

Postup se zdá být v pořádku, na konci musíš ale pro určení definičního oboru derivace zjistit, jestli $1 - \left ( \dfrac{2x}{x^2+2} \right )^2 \neq 0$ . Ono to vyjde tak, že definiční obor derivace bude celé $\mathbb{R}$ , ale toto je potřeba ukázat.

S čím konkrétně máš problém?

thifferx

Potřeboval jsem hlavně ověřit správnost té první derivace (jestli na to jdu dobře), a tak možná jestli jde ještě nějak lépe upravit výsledek té první derivace, pro zjednodušení - když budu dělat druhou derivaci (zdá se mi to teď docela složité - jestli to nejde nějak zjednodušit?). Je nutné takto ukázat ten definiční obor? když vlastně jsem ho "vyřešil" už před derivováním te funkce, nebo po každém zderivování mám zkontrolovat v jakém intervalu je funkce definována?

Pritt · 14. 11. 2016 22:29

Definiční obor musíš řešit. Pro příklad funkce $arcsin(x)$ je definována na $<-1,1>$ ale její derivace je definována na $(-1, 1)$ .

Výsledek ještě půjde zjednodušit:

$\dfrac{-2x^2+4}{\sqrt{1-\left (\frac{2x}{x^2+2}\right )^2}\cdot (x^2+2)^2} = \dfrac{-2x^2+4}{\sqrt{\frac{(x^2+2)^2-4x^2}{(x^2+2)^2}}\cdot (x^2+2)^2} = \dfrac{-2x^2+4}{\sqrt{(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)}(x^2+2)}$

thifferx · 15. 11. 2016 15:51

↑ Pritt:
Díky moc, už jsem určil i vlastnosti spjaté s první derivací, ale ještě tak nějak pokulhávám jen v tom, jak udělat druhou derivaci u této funkce.
Zkusil jsem takhle (pokud je to teda čitelné) a vůbec nevím jestli v tom neplavu.

Odkaz

Předem díky za pomoc

Pritt · 15. 11. 2016 17:14 — Editoval Pritt (15. 11. 2016 17:15)

↑ thifferx:

Pod odmocninou máš podle mě chybu. Jak si k takovému výrazu pod tou odmocninou přišel?

Pro druhou derivaci, by bylo nejlepší nechat první derivaci v následujícím tvaru:

$\dfrac{-2x^2+4}{\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2)}$

Potom

$\left ( \dfrac{-2x^2+4}{\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2)} \right )' = \dfrac{-4x(\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2)) - 2(2-x^2)(\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2))'}{\left [\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2) \right ]^2} = \nl \dfrac{-4x(\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2)) - (4-2x^2)(2x\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2} + (x^2+2)\frac{1}{2}((x^2+2)^2 - 4x^2)^{-\frac{1}{2}}(2(x^2+2)2x - 8x))}{\left [\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2) \right ]^2}$

thifferx · 15. 11. 2016 17:26

↑ Pritt:
Jo je tam chyba - špatně jsem to upravil, zkusil jsem to ale podruhé a došel jsem k stejnému výsledku.
Díky moc

thifferx

Pokusil jsem se ještě o úpravu té druhé derivaci pro následný výpočet inflexního bodu, ale bohužel se trošku v tom ztrácím. Jediné co jsem udělal (na papír, tady jsem to nepřidal), je to že tu závorku na -1/2 jsem dal do jmenovatele, tak abych si to počítání toho čitatele, co nejvíce zjednodušil, ale dále tak trochu nevím, co by byl nejlepší postup.
Díky moc za každou pomoc

Druhá derivace:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/22743_mathtex.gif

Pritt · 16. 11. 2016 20:22 — Editoval Pritt (16. 11. 2016 20:24)

↑ thifferx:

Polož druhou derivaci rovno nule. $\frac{-4x(\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2)) - (4-2x^2)(2x\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2} + (x^2+2)\frac{1}{2}((x^2+2)^2 - 4x^2)^{-\frac{1}{2}}(2(x^2+2)2x - 8x))}{\left [\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2) \right ]^2} = 0 \Leftrightarrow \nl -4x(\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2}(x^2+2)) - (4-2x^2)(2x\sqrt{(x^2+2)^2 - 4x^2} + (x^2+2)\frac{1}{2}((x^2+2)^2 - 4x^2)^{-\frac{1}{2}}(2(x^2+2)2x - 8x)) = 0 \Leftrightarrow \nl -4x(((x^2+2)^2 - 4x^2)(x^2+2)) - (4-2x^2)(2x((x^2+2)^2 - 4x^2) + (x^2+2)\frac{1}{2}(2(x^2+2)2x - 8x)) = 0$

To jsem jenom vynásobil tou odmocninou. Teď se to můžeš pokusit dál upravit.
Na konci jsou $= 0$ u těch prvních dvou řádků.

thifferx · 16. 11. 2016 20:43

Super díky moc, hned se jdu na to mrknout.

thifferx · 16. 11. 2016 21:21

Zkusil jsem takhle:
https://postimg.org/image/v99sd4csr/

Ale nevím jestli dál roznásobit, nebo jestli teď to mám vůbec dobře

Al1 · 17. 11. 2016 09:14

↑ thifferx:

Zdravím,

WA hlásí toto

thifferx

Tak to mě zmátlo ještě více, protože jsou 3 inflexní body(viz. úprava na WA Odkaz, přičemž rovnici kde je, $x^{6}$ jsem teda fakt nikdy neřešil (prvák na VŠ). Tu úpravu jsem zkoušel ale teda vůbec mi to nevychází (kontrola podle Wolframu). Jestli by si Pritte měl ještě čas, mohl by ses mi na to podívat?

Pritt · 17. 11. 2016 16:07

Vrátím se k tý první derivaci a trochu ji upravím.
Jinak piš čitelněji, bude se to i tobě lépe kontrolovat.

$\left ( \dfrac{-2x^2+4}{\sqrt{x^4+4}(x^2+2)} \right )' = \frac{-4x\sqrt{x^4+4}(x^2+2) - (4-2x^2)(2x\sqrt{x^4+4} + (x^2+2)(x^4+4)^{-\frac{1}{2}}2x^3)}{(x^4+4)(x^2+2)^2 } = 0$

Teď se to vynásobí $\sqrt{x^4+4}$ a vydělí $4x$ a je to ekvivalentní s tím, že zjišťuji pouze situaci, kdy je čitatel roven nule:
$-(x^4+4)(x^2+2) - (x^2-2)(x^4+4 + (x^2+2)x^2) = 0 \nl -x^6-2x^4-4x^2-8-(x^2-2)(2x^4+2x^2+4) = ... = x^6-4x^4-6x^2-16 = 0$

thifferx · 17. 11. 2016 16:29

Ok už to mám - díky moc

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2016 21:17

Derivace složené funkce

#2 14. 11. 2016 21:37

Re: Derivace složené funkce

#3 14. 11. 2016 21:47 — Editoval thifferx (14. 11. 2016 21:52)

Re: Derivace složené funkce

#4 14. 11. 2016 22:29

Re: Derivace složené funkce

#5 15. 11. 2016 15:51

Re: Derivace složené funkce

#6 15. 11. 2016 17:14 — Editoval Pritt (15. 11. 2016 17:15)

Re: Derivace složené funkce

#7 15. 11. 2016 17:26

Re: Derivace složené funkce

#8 16. 11. 2016 19:58 — Editoval thifferx (16. 11. 2016 19:59)

Re: Derivace složené funkce

#9 16. 11. 2016 20:22 — Editoval Pritt (16. 11. 2016 20:24)

Re: Derivace složené funkce

#10 16. 11. 2016 20:43

Re: Derivace složené funkce

#11 16. 11. 2016 21:21

Re: Derivace složené funkce

#12 17. 11. 2016 09:14

Re: Derivace složené funkce

#13 17. 11. 2016 12:59 — Editoval thifferx (17. 11. 2016 14:03)

Re: Derivace složené funkce

#14 17. 11. 2016 16:07

Re: Derivace složené funkce

#15 17. 11. 2016 16:29

Re: Derivace složené funkce

Zápatí