Matematické Fórum

mbeloch97 · 19. 11. 2016 13:04

Ahoj, wolfram mi ukazuje, že def. obor funkce y = x^x je x>0. Ale přece když dosadím f(-1) = -1^-1 = -1 a dokonce $lim_{x\to-\infty } f(x) = 0$ . Muže mi někdo říct, v čem dělám chybu? Děkuji

Pritt · 19. 11. 2016 13:16

↑ mbeloch97:

Ahoj,
protože $x^x = e^{xln(x)}$ .

Kenniicek · 19. 11. 2016 13:16

Skus dosadit -1/2

mbeloch97 · 19. 11. 2016 13:21

↑ Pritt: To zní dobře :), ale pořád nechápu, proč kalkulačka při záporných hodnotách nehodí chybu.

mbeloch97

↑ Kenniicek: Dosadím a vyjde -1,41
EDIT: pardon, ted sem si uvědomil, že to vlastně neni definovaný (odmocnina)

mbeloch97 · 19. 11. 2016 13:35

↑ Pritt: A navíc když mam fci y = x, tak $x=e^{ln(x)}$ takže pak by byl def. obor této fce taky x>0. To si trochu odporuje ne?

Bati · 19. 11. 2016 13:42 — Editoval Bati (19. 11. 2016 13:56)

Ahoj,
správná interpretace obecné mocniny tvaru $z^x$ , kde $z\in\mathbb{C}$ a $x\in\mathbb{R}$ je $z^x=|z|^x(\cos(x\,\text{Arg}\,z)+i\sin(x\,\text{Arg}\,z))$ .

Speciálně tedy, pokud $z<0$ , pak $z^x=|z|^x(\cos(\pi x)+i\sin(\pi x))$ .

Potom skutečně platí $f(-1)=-1$ , $f(-\infty)=0$ a $f(-\tfrac12)=-i\sqrt{2}$ .

Pritt · 19. 11. 2016 14:38

↑ Bati:

Proč se tedy zavádí obecná mocnina pro $z \in \mathbb{R}$ pouze pro $z > 0$ ?

Je to kvůli tomu, že by funkce $f: y = z^x, z < 0$ měla příliš "ošklivý" definiční obor?

Například mohl vypadat takto? $D_f = \{x \in \mathbb{R}| x = \frac{p}{q}, (p \in \mathbb{R}, q = 2k+1, k \in \mathbb{Z}) \vee (p = 2l, l \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{R}-\{0\})\}$

mbeloch97 · 19. 11. 2016 15:00

↑ Pritt: ↑ Bati: Díky za rady. Teď sem našel tuto poznámku: Obecná i racionální mocnina je definována pouze pro kladný základ, protože jen tak je zaručena existence její reálné funkční hodnoty zdroj: http://artemis.osu.cz/mmmat/txt/sm/rmo.htm

Bati · 20. 11. 2016 01:17

↑ Pritt:
Je to jak píše ↑ mbeloch97:. Pokud $z>0$ , je zaručeno, že $z^x\in\mathbb{R}$ . Jinak až na nějaké výjimky jako $(-1)^{-1}$ víme jen $z^x\in\mathbb{C}$ . Vše je vidět z toho vztahu, co jsem napsal.