Matematické Fórum

mata0128 · 18. 11. 2016 22:46

Ahojte

potrebovala by som pomôcť s týmto príkladom :
Nájdite všetky prirodzené čísla m, pre ktoré číslo $988^{m}-1$ delí číslo $1994^{m}$ .

Vôbec ma nenapadá, ako by sa to dalo riešiť.
Skúšala som to naprogramovať,, ale buď to nezvládol C# alebo ja :)

ešte mi napadlo napísať tie čísla ako súčin prvočiniteľov,, ale neviem, či sa to bude na niečo hodiť.
1994 = 2*997
988 = 2*2*13*19

Ďakujem za váš čas.

nikoma · 18. 11. 2016 23:34

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 19. 11. 2016 03:04

$m=1$ vyhovuje

mata0128 · 19. 11. 2016 11:12

↑ vanok:

ano,, keby som sa nepomýlila, a nenapísala 988 miesto 998
a potom sa už len čudujem, prečo mi to nevychádza

vanok · 19. 11. 2016 12:15

Ahoj ↑ mata0128:,
No treba o tom este porozmyslat.

mata0128 · 19. 11. 2016 19:34

↑ vanok:
a nie je ten výsledok práve $m=1$ ?
tak nad čím treba ešte rozmýšľať ?

vanok · 19. 11. 2016 19:45

↑ mata0128:,
Mas pravdu, ale som to overil podrobne a skutocne $m=1$ je jedinny vysledok.

mata0128 · 19. 11. 2016 19:50

↑ vanok:

a ako si to overoval ?
ja som po konzultácii s kamaratom použila Zsigmondyho vetu,,,

vanok · 19. 11. 2016 20:08

↑ mata0128:
Tu vetu nepoznam. Mozes ma poucit.

mata0128 · 19. 11. 2016 20:24

↑ vanok:

No, takže , dúfam, že to všetko chápem správne :
pre istotu pripájam link https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem
Zsigmondyho veta:
mame $a>b>0$ pre ktore plati $D(a,b)=1$
Pre všetky prirodzené čísla $n\ge 1$ existuje prvočíslo $p$ , pre ktoré platí, že $p$ delí $a^{n}-b^{n}$ a súčasne $p$ nedelí $a^{k}-b^{k}$ . pričom pre celé kladné čísla $k$ platí $k<n$ .

Takže som zobrala $m>1$ a teda podľa Zsigmondyho vety musí existovať také $p$ , že $p$ delí $998^{m}-1$ , ale nedelí $998^{1}-1$ . Z toho vyplýva, že $998^{m}-1$ nemôže byť mocnina 997, pretože má iného prvočíselného deliteľa rôzneho od 997.
A z toho vyplýva, že jediné m, pre ktoré príklad platí je $m=1$ .

dúfam, že je to pochopiteľné,, lebo lepšie to už vysvetliť neviem,,,

a ty si to ako riešil ?

vanok · 20. 11. 2016 10:09

↑ mata0128:
Mala myslienka este... (k comu som prisiel pred tym ako si pisala tvoj prispevok).
Je jednoduche vidiet, ze obe dane cisla ( po oprave) su delitelne prvocislom 997, no vsak sucin 998^m -1=997.( 1 +k997) nam ukazuje, ze plati vysledok, ze $1994^{m}$ ma delitel $998^{m}-1$ len pre m=1.
Zda sa, ze toto plati aj pre ine prvocisla ako 997.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2016 22:46

Deliteľnosť

#2 18. 11. 2016 23:34

Re: Deliteľnosť

#3 19. 11. 2016 03:04

Re: Deliteľnosť

#4 19. 11. 2016 11:12

Re: Deliteľnosť

#5 19. 11. 2016 12:15

Re: Deliteľnosť

#6 19. 11. 2016 19:34

Re: Deliteľnosť

#7 19. 11. 2016 19:45

Re: Deliteľnosť

#8 19. 11. 2016 19:50

Re: Deliteľnosť

#9 19. 11. 2016 20:08

Re: Deliteľnosť

#10 19. 11. 2016 20:24

Re: Deliteľnosť

#11 20. 11. 2016 10:09

Re: Deliteľnosť

Zápatí