Matematické Fórum

kocourOggy · 22. 11. 2016 14:28

Zdravím,
mám trochu problém s tímhle příkladem:

Mějme neprázdnou množinu $A$ , nechť $B$ je její pevně zvolená podmnožina, $\emptyset \neq B \subset A$ .
Dále mějme na potenční množině $P(A)$ definovánu binární relaci $R \subseteq P(A) \times P(A)$ takto: $R = \{(X,A - X) |\ X \subseteq B\}$ .
Rozhodněte zda je relace symetrická, reflexivní, ireflexivní, tranzitivní, antisymtetrická, asymetrická (prostě které z uvedených vlastnosti takto zadaná relace splňuje).

Vyšlo mi, že relace je ireflexivní a symetrická... bohužel tohle tvrzení je špatně.

Moje zdůvodnění:
Aby platila ireflexivita nesmí relace obsahovat dvojici xRx, tj. (X, X). Jelikož zadané dvojice mají tvar (X, A-X). Nemůžu vytvořit dvojici tak aby množina X = A - X.

Aby platila symetrie musí platit xRy => yRx. Tedy když mám dvojici (X, A-X) musí k ní existovat i dvojice (A-X, X). Když tedy pro dvojici (X, A-X) za X "dosadím" A-X dostanu (A-X, A-(A-X)) a druhý prvek můžu napsat (pokud se nepletu) jako A-(A-X)=X, takže dostávám dvojici (A-X, X) a relace je tudíž i symetrická.

Bohužel tohle neplatí :/ dokázal by mi někdo poradit co opět dělám špatně?

Rumburak

↑ kocourOggy:

Ahoj.

V definici relace $R = \{(X,A - X) |\ X \subseteq B\}$ je podmínka

(1) $X \subseteq B$ ,

takže aby tato relace byla symetrická, potřebovali bychom, aby spolu s podmínkou (1)
platilo též $A - X \subseteq B$ , což by díky (1) mělo za důsledek $A \subseteq B$ ,
to je ale ve sporu s předpokladem $B \subset A$ (má-li toto být ostrá inkluse).

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2016 14:28

Vlastnosti relací II

#2 22. 11. 2016 14:51 — Editoval Rumburak (22. 11. 2016 14:52)

Re: Vlastnosti relací II

Zápatí