Matematické Fórum

boom666

Zdravím

4. Dokate, že platí:
(i) 1 + 1/4 + · · · +1/n^2 ≤ 2

mám to tak:
jestli n = 1
1 + 1/2 + ... + 1/1 ≤ 2
Predpokladam
1 + 1/4 + .... + 1/n^2 ≤ 2 - 1/n
Jestli n = 1 1= 2 - 1

Indukcie:
1 + 1/4 + ... + 1/(n - 1)^2 ≤ 2 - 1/n-1
dam si 1/n^2

1 + 1/4 + ... + 1/(n-1)^2 ≤ 2 - 1/n - 1 + 1/n^2 = 2 - (n^2 - n + 1)/(n - 1)n ≤ 2 - (n^2 - n)/(n - 1)n^2 = 2 - 1/n

nebo odpoved zapisem tak :
1/n^2 < 1/(n - 1)n = 1/(n-1) - 1/n

proto :
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + .... + 1/n^2
mensi mnozstvi :
1 + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + .... + (1/(n-1) - 1/n)
nyni vsechny dilci cleny snizuje a zustava 1 + 1 - 1/n, tak ze puvodni hodnata mensi nez 2

TOTO JE SPRAVNE VYRESIL ? JESTLI NE PROSIM O POMOCI

vlado_bb

Vsimni si uz svoj prvy krok:

boom666 napsal(a):
jestli n = 1
1 + 1/2 + ... + 1/1 ≤ 2

Naozaj si myslis, ze $2.5 \le 2$ ?

boom666 · 21. 11. 2016 17:11

↑ vlado_bb: mas pravdu, jak to muzu udelat jinak ?

boom666 · 21. 11. 2016 17:27

↑ vlado_bb: jestli vyskyrtnu ten prvni krok, tak uz mam dokazani aneb ne ?

vlado_bb · 21. 11. 2016 19:27

↑ boom666:Cize indukcia bez prveho kroku... No, aby som ta zbytocne nemylil inym oznacenim - aku literaturu pouzivas na studium tejto oblasti?

boom666 · 21. 11. 2016 19:32

↑ vlado_bb: zadnou, jenom na prednaskach ucim se

vlado_bb · 21. 11. 2016 19:45

↑ boom666:Treba pouzivat literaturu.

boom666 · 21. 11. 2016 21:11

↑ vlado_bb: proc ? nevidim v tom smysl, jestli neumis to resit, tak nepis, ja neptrebuju takovou radu

jelena · 22. 11. 2016 09:14

Zdravím,

↑ boom666: zkus trochu zvolnit - literaturou se může rozumět i kvalitní a spolehlivý elektronický zdroj, vč. knih v elektronické podobě. Upřesní, prosím, co používáte a co vám na škole doporučuji.

K samotnému řešení - určitě prospěje, pokud upřesníš, zda krok pro $n=1$ , jak jsi provedl, je jen nepozornost a překlep (opravit), nebo skutečně na tom zápisu trváš (potom by chtělo zpět nejspíš na práci s posloupnosti nebo řadou). Dál navrhuješ (a to se píše i na více místech k této úloze):

1 + 1/4 + .... + 1/n^2 ≤ 2 - 1/n

ovšem Ty píšeš, že "předpokládáš" (tedy i toto tvrzení, striktnější nerovnost, bys měl mít dokázanou). V dalších krocích, bohužel, není jasné, jakou techniku indukce používáš (proč (n-1)?) + problémy se závorkami zápis zcela znepřehledňuji). Tak to, prosím, rozpracuj ve všech uvedených směrech, pokud máš zájem. Děkuji.

4ch1 · 22. 11. 2016 10:06

↑ jelena: n musi byt tak, n < 1, z toho vyplyva n - 1 < 0

Rumburak

↑ boom666:

Ahoj.

Při důkazu může být důležitou pomůckou (pro zpřehlednění uvažovaných výroků) i vhodná symbolika.
Zde například bych použil třeba

$S_n := \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +... + \frac{1}{n^2} , n = 1, 2, 3, ...$ .

Klíčovou roli zde hraje odhad a úprava

$\frac{1}{k^2} <\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} , k > 1$ ,

jak jsi správně pochopil. Co Tvému důkazu chybí, je jen "správný kabát" . To se naučíš studiem
literatury.

4ch1 · 22. 11. 2016 14:40

↑ Rumburak: a jestli, reknu ze n musi byt tak, n < 1, z toho vyplyva n - 1 < 0 ? Ja se myslim, ze to je ten jisty kabat

Rumburak

↑ 4ch1:

a jestli, reknu ze n musi byt tak, n < 1, z toho vyplyva n - 1 < 0 ?

Tak tomuto sdělení nerozumím.

"Správný kabát" bych viděl třeba ve výpočtu

(1) $S_n = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +... + \frac{1}{n^2} < \\ < \frac{1}{1} + $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ + ... + $\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$ = \\=$\frac{1}{1} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - ...-\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}$ - \frac{1}{n} = \\= 2 - \frac{1}{n} < 2$

na základě vztahu $\frac{1}{k^2} <\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ platného pro $k > 1$ .

Patrně by šlo využít též indukci, avšak výše uvedený postup by, myslím, rovněž byl považován
za korektní (tedy pokud z didaktických důvodů zde není indukce výslovně vyžadována).

boom666 · 22. 11. 2016 23:15

↑ Rumburak: ale ja to mam tam na konci, ja nerozumim, co jeste mi nestaci, predpokladam, ze ja uz mam vsechno spravne

misaH · 23. 11. 2016 06:12

↑ boom666:

Máš robiť dôkaz indukciou alebo nemusíš?

Lebo indukcia má presne predpísané kroky a ty ich nedodržuješ.

boom666 · 23. 11. 2016 08:23

[re]p531084|misaH[/re musim dokazat to, ja se myslim, ze ano mam delat indukciu

misaH · 23. 11. 2016 08:38

↑ boom666:

Myslíš, že máš robiť indukciu?

Teda nemáš to predpísané?

Ak indukciu nemusíš, použi dôkaz od Rumburaka (zdravím).

Urobil ti ho celý...

boom666 · 23. 11. 2016 09:01

↑ misaH: ja mamj jenom tak to napsany priklad "4. Dokate, že platí:
(i) 1 + 1/4 + · · · +1/n^2 ≤ 2" , ja mam podobne, jak to urobil Rumburak ne ?

jelena · 23. 11. 2016 09:52

Zdravím,

↑ boom666: jelikož tématu se ujmul kolega ↑ Rumburak:, je jistota, že k výsledku dojdete :-)

Doplním mé poznámky, které jsem zachytila při čtení a psaní příspěvku ↑ č. 10:

4. Dokate, že platí:
(i) 1 + 1/4 + · · · +1/n^2 ≤ 2

mám to tak:
jestli n = 1
1 + 1/2 + ... + 1/1 ≤ 2 (chybně dosazeno n=1)
Predpokladam (budu dokazovat striktnější nerovnost, důkaz indukci)
1 + 1/4 + .... + 1/n^2 ≤ 2 - 1/n
Jestli n = 1 1= 2 - 1

Indukcie: předpokládám, že platí pro $k=(n-1)$ , potom platí i pro $k=n$ (trochu pro mne nezvyklý sled, ale nejsem specialistka), stejná technika by však byla i pro více obvyklé značení, tedy pro krok s (n+1)
1 + 1/4 + ... + 1/(n - 1)^2 ≤ 2 - 1/n-1
dam si 1/n^2 (přičtu k levé a pravé straně)
1 + 1/4 + ... + 1/(n-1)^2 +1/n^2≤ 2 - 1/(n - 1) + 1/n^2 = 2 - (n^2 - n + 1)/((n - 1)n^2) ≤2 - (n^2 - n)/(n - 1)n^2 = 2 - 1/n

Tento postup bych viděla jako pokus o použití indukce, druhý postup, který také máš v 1. příspěvku diskutujete s kolegou Rumburakem. Oba postupy měly problém se zápisem + překlepy. A tipuji, že ještě trápí čeština :-)

Navrhuji téma rozdělit na 2 - důkaz s dekompozici kolegy Rumburaka a důkaz s použitím indukce (kde by mne třeba zajímalo, jak dokážeme, že úplně původní zadání dokázat nejde a musí se dokazovat to "striktnější").

Děkuji a pozdravy.

jarrro · 23. 11. 2016 09:54

Ak chceme ukázať
$\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i^2}}\leq 2-\frac{1}{n}$
Tak prvý krok je
$1\leq 2-1$ čo je pravda
Potom
$\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i^2}}\leq 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{$n+1$^2}$
Teda stačí ukázať
$2-\frac{1}{n}+\frac{1}{$n+1$^2}\leq 2-\frac{1}{n+1}$
Čo ukázal Rumburak

Rumburak · 23. 11. 2016 09:59

↑ boom666:

Máš toho tam naopak možná více, než bylo potřeba, a tím je to nepřehledné a matoucí.
Dobrý důkaz musí být "očištěný od plev" a přehledný. To je ten "kabát", o kterém jsem
se zmínil.

Marian · 23. 11. 2016 10:04

↑ jarrro:

Uvedu pouze krátké pozorování z matematické praxe...

Je trochu zvláštní, že uvedená metoda není vhodná pro důkaz slabší nerovnosti

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\le 2.$

Při jejím dokazování jsem nejdříve ukázal platnost uvedeného silnějšího tvrzení a pak dospěl ke slabší verzi pomocí snadného důsledku. Nejsem si jist, zda je možno indukci u disutovaného slabšího tvrzení provést přímo.

boom666 · 23. 11. 2016 15:30

dekuji vsem, ale nasel jsem pouze jednu chybu ve svem reseni (v tom mám to tak: jestli n = 1 1 + 1/2 + ... + 1/1 ≤ 2 )

a chybelo mi jenom k = n - 1, k = n

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2016 16:00 — Editoval boom666 (21. 11. 2016 16:09)

Matematicka indukcie

#2 21. 11. 2016 16:40 — Editoval vlado_bb (21. 11. 2016 16:40)

Re: Matematicka indukcie

boom666 napsal(a):

#3 21. 11. 2016 17:11

Re: Matematicka indukcie

#4 21. 11. 2016 17:14 — Editoval boom666 (21. 11. 2016 17:15) Příspěvek uživatele boom666 byl skryt uživatelem boom666.

#5 21. 11. 2016 17:27

Re: Matematicka indukcie

#6 21. 11. 2016 19:27

Re: Matematicka indukcie

#7 21. 11. 2016 19:32

Re: Matematicka indukcie

#8 21. 11. 2016 19:45

Re: Matematicka indukcie

#9 21. 11. 2016 21:11

Re: Matematicka indukcie

#10 22. 11. 2016 09:14

Re: Matematicka indukcie

#11 22. 11. 2016 10:06

Re: Matematicka indukcie

#12 22. 11. 2016 10:47 — Editoval Rumburak (22. 11. 2016 11:24)

Re: Matematicka indukcie

#13 22. 11. 2016 14:40

Re: Matematicka indukcie

#14 22. 11. 2016 14:58 — Editoval Rumburak (22. 11. 2016 17:01)

Re: Matematicka indukcie

#15 22. 11. 2016 23:15

Re: Matematicka indukcie

#16 23. 11. 2016 06:12

Re: Matematicka indukcie

#17 23. 11. 2016 08:23

Re: Matematicka indukcie

#18 23. 11. 2016 08:38

Re: Matematicka indukcie

#19 23. 11. 2016 09:01

Re: Matematicka indukcie

#20 23. 11. 2016 09:52

Re: Matematicka indukcie

#21 23. 11. 2016 09:54

Re: Matematicka indukcie

#22 23. 11. 2016 09:59

Re: Matematicka indukcie

#23 23. 11. 2016 10:00 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Již jednou uloženo

#24 23. 11. 2016 10:04

Re: Matematicka indukcie

#25 23. 11. 2016 15:30

Re: Matematicka indukcie

Zápatí