Matematické Fórum

vanok · 24. 11. 2016 18:10 — Editoval vanok (24. 11. 2016 18:11)

Skuste napisat postupnost $a_n=2^n, n=0,1,2,3,...$ az do $n =100$ .
Co konstatujete z cifrou na lavo?
Co mozeme dokazat ked n ide do nekonecna? Dokazte.

Pavel · 24. 11. 2016 18:35

↑ vanok:

Lze dokázat, že ať volíme jakékoliv přirozené číslo $k$ , tak vždy existuje taková mocnina čísla 2, jejiž ciferný zápis začíná právě číslem $k$ .

vanok · 24. 11. 2016 18:47

↑ Pavel:
Ano, aj to je zaujimave, ale preco 1 sa objavi castejsie (ako je to presnejsie)?

Pavel · 24. 11. 2016 22:28

↑ vanok:

Nabízím zjednodušenou odpověď - to, jakou číslicí začíná mocnina čísla 2, úzce souvisí s tím, že číslo $\log_{10}2$ je iracionální. To, že 1 je "nejčastější cifra", kterou mocnina dvojky začíná, vyplývá z následujícího tvrzení:

Definujme následujících devět otevřených intervalů:

$I_n=\left(\log_{10}(n),\log_{10}(n+1)\right),\qquad n\in\{1,2,\dots,9\}.$

Symbolem $\{x\}$ označme zlomkovou (desetinnou) část reálného čísla $x$ .

Je-li $\{m\cdot\log_{10}(2)\in I_n\}$ , kde $m\in\mathbb N$ , pak mocnina $2^m$ začíná číslicí $n$ . A protože interval $I_1$ má ze všech devíti intervalů největší míru, vyplývá z toho, že mocniny $2^m$ začínají nejčastějí číslicí 1. Ještě jinak - ca. třetina všech mocnin dvojky začíná jedničkou.

Obdobné závěry by bylo možné odvodit i pro dvojciferná, resp. víceciferná čísla, jímiž "začíná" číslicový zápis mocnin čísla 2, popř. i pro mocniny jiných přirozených čísel.

Pavel · 24. 11. 2016 22:35 — Editoval Pavel (24. 11. 2016 22:35)

↑ vanok:

Zapojí-li se do hry navíc řetězové zlomky a z nich odvozené příslušné konvergenty, lze získat "hezké" mocniny čísla 2. např.

$2^{70777}&=1000007\dots\\ 2^{44699994}&=99999996\dots$

apod.

vanok · 24. 11. 2016 23:21

↑ Pavel:,
Ano to je dobra cesta k rieseniu problemu, i ked potvrdenie tejto intuicii pouzije, ze postupnost n.log(2) − [n.log(2)] je "équirépartie " v [0; 1].

A co je pozitivne, ze uz aj takto sme mohli prekvapit a poucit viacero foristov.

check_drummer

Pavel napsal(a):
A protože interval $I_1$ má ze všech devíti intervalů největší míru, vyplývá z toho, že mocniny $2^m$ začínají nejčastějí číslicí 1.

Ahoj, podle mě tato implikace nemusí nutně platit, resp. asi by bylo potřeba k ní něco dodat. Hodnoty m.log(n) nemusí být rovnoměrně roloženy - a co kdyby padly častěji do jiného intervalu než $I_1$ (přestože tento jiný interval má menší délku)?

Edit: A ještě jedna věc - pro dostatečně velká m přece nepadne výraz $m\cdot\log_{10}(2)$ do žádného intervalu $I_n$ . Jak je potom v tomto případě číslo n definováno?...

To ovšem neznamená, že to tvrzení neplatí. Např. speciálně k té 1čce by stačila tato úvaha: mezi všemi m-cifernými čísly existuje (právě) jedno, která začíná 1kou a je to mocnina 2.
Rovněž mezi všemi m-cifernými čísly existuje nejvýše jedno, které začíná číslicí k a je to mocnina 2.
A z toho již to tvrzení plyne.

vanok · 26. 11. 2016 19:17 — Editoval vanok (26. 11. 2016 19:20)

↑ check_drummer:,
Ahoj v mojom prispevku mas odpoved na tvoju otazku.
Co volam "équiréparti" asi to volas rovnomerne rozlozenie....( co da, ze primerne mame tak 30 pct. takych situacii a tiez je to tak aj asympoticky) ale vsak mas iste slovnik, ja tiez citam v cz. so slovnikom.

Pavel · 26. 11. 2016 22:41 — Editoval Pavel (26. 11. 2016 22:45)

↑ check_drummer:

Chybně jsem ohraničil výraz ve zlomkové části, správně by mělo být

$\{m\cdot\log_{10}(2)\}\in I_n$

Opomněl jsem dodat, že nejčastější výskyt 1 na začátku ciferného zápisu mocnin čísla 2 plyne z toho, že posloupnost zlomkových částí $\{\{m\cdot\log_{10}(2)\}\}_{m=1}^{\infty}$ je tzv. rovnoměrně rozložená posloupnost (uniformly distributed sequence) v intervalu $\langle 0,1\rangle$ . Je to důsledek tvrzení, že posloupnost $l\{\{m\cdot\alpha\}\}_{m=1}^{\infty}$ je rovnoměrně rozložená v intervalu $\langle 0,1\rangle$ pro libovolné kladné iracionální $\alpha$ . Viz též postřeh od ↑ vanok:.

Pro "víceciferné začátky" mocnin dvojky je zapotřebí vzít jiné intervaly, postup by však byl obdobný.