Matematické Fórum

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 14:18 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 14:18)

Zdravím, mám úlohu pro určení délek hran kvádru tak aby byl jeho objem největší, jenže jsem se zasekl a nevím jak dále postupovat. Chtěl jsem to řešit přes derivaci ale nějak se nemůžu dostat k funkci kterou bych derivoval.

Zadání:
Kvádr má povrch S a délka hrany c je dvojnásobkem délky hrany a. Určete délky hran kvádru tak, aby jeho objem V byl maximální.

Zatím jsem se dostal do téhle fáze:
S=2(ab+ac+bc)
V=abc
c=2a

S=2(ab+2a*a+b*2a)
V=a*b*2a

Předem děkuji za jakoukoliv radu.

Al1 · 27. 11. 2016 14:24 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 14:25)

↑ Ma4zu6:

Zdravím,

ze vztahu pro povrch vyjádři b pomocí S a a, dosaď do vztahu pro objem, kde ještě nahradíš c=2a. Pak derivuj fci pro objem podle proměnné a.

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 15:05 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 15:06)

↑ Al1: Díky za pomoc.

Postupoval jsem tedy takto:

$S=2ab+4a^{2}+4ab$
$S=6ab+4a^{2}$
$6ab=S-4a^{2}$
$b=\frac{S-4a^{2}}{6a}$
$V=2a^{2}b$
$V=2a^{2}*\frac{S-4a^{2}}{6a}$

Zderivoval jsem, po úpravě mi vyšlo
$V'=\frac{48a^{2}+12S}{36}$
Dal jsem rovno nule, čiže
$48^{2}=-12S$
$a^{2}=-\frac{1}{4}S$

Což předpokládám není dobře, jelikož bych odmocňoval záporné číslo. Taky jsem čekal že se mi někde ty S odečtou.

$\frac{S-4a^{2}}{6a}$

jsem zderivoval na

$\frac{72a^{2}-6S}{36a^{2}}$

to jsem pak spolu s $2a^{2}$ zderivoval jako součin.

Chybu nikde nevidím, ať už v postupu či derivaci.

Al1 · 27. 11. 2016 15:29

↑ Ma4zu6:

po úpravě

$V=\frac{1}{3}(S\cdot a-4a^{3})$

Tak zkus derivovat ještě jednou.

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 16:06 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 16:07)

↑ Al1:

$V=\frac{1}{3}(S\cdot a-4a^{3})$ si dostal po úpravě čeho? K tomuhle vzorci jsem se teda nedostal, prošel jsem si derivaci znovu a chybu v ní fakt nevidím.

Al1 · 27. 11. 2016 16:08

↑ Ma4zu6:

To je úprava tvého vztahu pro objem $V=2a^{2}*\frac{S-4a^{2}}{6a}$ , stačí pokrátit. Je přeci lepší derivovat jednodušší vztah.

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 16:21

↑ Al1: Aha chápu, díky.

a mi tedy vyšlo $\frac{\sqrt{3}}{6}$ a c tímpádem $\frac{\sqrt{3}}{3}$

akorát teda nevidím cestu k rozměru b. Z S ho nevyjádřím jelikož bych potřeboval S a nebo bych potřeboval V.

Al1 · 27. 11. 2016 16:23 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 16:23)

↑ Ma4zu6:

A kam se ztratilo S? Napiš výslednou derivaci objemu (pro kontrolu)

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 16:24 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 16:25)

↑ Al1:
No při výpočtu a mi zmizlo derivací a ať ho vyjádřím z čehokoliv tak potřebuju buď b anebo V.

Al1 · 27. 11. 2016 16:28 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 16:29)

↑ Ma4zu6:

Napiš V', prosím. Uvědom si, že $(a\cdot S)'$ podle a je S.

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 16:30 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 16:34)

↑ Al1:

Aha no jo vlastně. Tak to už teda vůbec nevím jak ty hodnoty dostat, páč a je tedy potom
$\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{12}}$

Al1 · 27. 11. 2016 16:34 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 16:35)

↑ Ma4zu6:

A to je chyba. Konstanta v součinu se derivací nemění.

$V'=\frac{1}{3}(S-12a^{2})$

Vždyť se zamysli. Pokud by zmizelo S, pak jakýkoli kvádr s rozměry a, b, 2a by měl maximální objem.

Edit: Byl změněn ppředchozí příspěvek.

Al1 · 27. 11. 2016 16:39

↑ Ma4zu6:

$a=\sqrt{\frac{S}{12}}$ . Ověř, že je to maximum funkce.

Potom

$c=2\cdot \sqrt{\frac{S}{12}}, b=\frac{S-4a^{2}}{6a}=\frac{S-4\cdot \left(\sqrt{\frac{S}{12}}\right)^{2}}{6\cdot \sqrt{\frac{S}{12}}}$

Všechny výsledky lze ještě upravit částečným odmocněním či usměrněním zlomku.

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 16:45

↑ Al1:

Aha, díky moc.

Ještě teda, je možno dosadit $12a^{2}$ do $S=6ab+4a^{2}$ ?

$12a^{2}=6ab+4a^{2}$
$8a^{2}=6ab$
$b=\frac{8a^{2}}{6a}$

Pak by mi b vyšlo jako $\frac{4}{3}a$

Al1 · 27. 11. 2016 16:49

↑ Ma4zu6:

To by bylo dobře. Já bych ale nechal ve výsledku závislost stran na S.

Ma4zu6 · 27. 11. 2016 16:49

↑ Al1:

Dobře, děkuji tedy za pomoc.

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2016 14:18 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 14:18)

Maximální objem kvádru

#2 27. 11. 2016 14:24 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 14:25)

Re: Maximální objem kvádru

#3 27. 11. 2016 15:05 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 15:06)

Re: Maximální objem kvádru

#4 27. 11. 2016 15:29

Re: Maximální objem kvádru

#5 27. 11. 2016 16:06 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 16:07)

Re: Maximální objem kvádru

#6 27. 11. 2016 16:08

Re: Maximální objem kvádru

#7 27. 11. 2016 16:21

Re: Maximální objem kvádru

#8 27. 11. 2016 16:23 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 16:23)

Re: Maximální objem kvádru

#9 27. 11. 2016 16:24 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 16:25)

Re: Maximální objem kvádru

#10 27. 11. 2016 16:28 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 16:29)

Re: Maximální objem kvádru

#11 27. 11. 2016 16:30 — Editoval Ma4zu6 (27. 11. 2016 16:34)

Re: Maximální objem kvádru

#12 27. 11. 2016 16:34 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 16:35)

Re: Maximální objem kvádru

#13 27. 11. 2016 16:39

Re: Maximální objem kvádru

#14 27. 11. 2016 16:45

Re: Maximální objem kvádru

#15 27. 11. 2016 16:49

Re: Maximální objem kvádru

#16 27. 11. 2016 16:49

Re: Maximální objem kvádru

Zápatí