Matematické Fórum

Napoleon · 27. 11. 2016 09:14

Potřeboval bych poradit s definicnim oborem i s 1. derivaci funkce f(x)= $\sqrt{\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}}$

Al1 · 27. 11. 2016 09:57

↑ Napoleon:

Zdravím,

sudá odmocnina je definována pro nezáporná reálná čísla a jmenovatel zlomku je různý od nuly.
$\left(\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}\ge 0\right)\wedge (5x^2+72x+180 \neq0)$

Napoleon · 27. 11. 2016 11:31

A 1. Deeivace vypadá jak?

Speedding · 27. 11. 2016 11:36

Wolfram Alpha

Napoleon · 27. 11. 2016 11:44

↑ Speedding:
Tak tomu nerozumím už vůbec

Speedding · 27. 11. 2016 11:57

Umíš derivovat složené funkce?

Napoleon · 27. 11. 2016 11:58

↑ Speedding:

Ano, nejdřív vnější a pak vnitřní, ale ono to vypadá ten výsledek tak rozpačitě že je nejspíš chybný

Speedding · 27. 11. 2016 12:04

Já chybu nevidím, jen se tam zkrátil zlomek. Zkus si to rozepsat. Když na to nepřijdeš, tak ti to sem rozepíšu.

Napoleon · 27. 11. 2016 12:12

Došel jsem k tomuto a dál nevím abych z toho vyčetl stacionární body

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5x^2+72x+180}{x^2+36}}*\frac{72(x^2-36)}{5x^2+72x+180}$

Speedding · 27. 11. 2016 12:42

Pod odmocninou je podíl dvou funkcí, derivujeme tedy podle vzorce $\frac{f(x)'g(x)-f(x)g(x)'}{(g(x))^{2}}$

Získáme $\frac{2x(5x^{2}+72x+180)-(x^{2}+36)(10x+72)}{(5x^{2}+72x+180)^{2}}$

Po úpravě $\frac{2x}{5x^{2}+72x+180} - \frac{(x^{2}+36)(10x+72)}{(5x^{2}+72x+180)^{2}}$

A ještě musíme zderivovat vnější funkci, tedy $\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}}}$

Ve výsledku $\frac{\frac{2x}{5x^{2}+72x+180} - \frac{(x^{2}+36)(10x+72)}{(5x^{2}+72x+180)^{2}}}{2\sqrt{\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}}}$

Napoleon · 27. 11. 2016 12:48

↑ Speedding:

Já ještě mám výsledek $\frac{36(\frac{1}{5x^2+72x+180})^{3/2}(x^2-36)}{(x^2+36)^{1/2}}$

No a jak výpočtu stacionární bod?

Al1 · 27. 11. 2016 14:06

↑ Napoleon:

Polož první derivaci rovnu nule:

$f'(x)=\frac{36(x-6)(x+6)}{\sqrt{x^{2}+36}\cdot (5x^{2}+72x+180)^{\frac{3}{2}}}=0$

Napoleon · 27. 11. 2016 15:09

↑ Al1:

A je to správné?

Pak stacionární body budou z čitatele?

Al1 · 27. 11. 2016 15:20

↑ Napoleon:

Vycházel jsem z

Napoleon napsal(a):
Já ještě mám výsledek $\frac{36(\frac{1}{5x^2+72x+180})^{3/2}(x^2-36)}{(x^2+36)^{1/2}}$

A jen jsem upravil na $f'(x)=\frac{36(x-6)(x+6)}{\sqrt{x^{2}+36}\cdot (5x^{2}+72x+180)^{\frac{3}{2}}}$ . A tato derivace je správně.

Derivace je rovna nule pro x=6 a x=-6. To jsoi souřadnice stacionárních bodů. Jestli jsou v nich extrémy, to urči sám.
Je důležité pracovat s definičním oborem funkce i její derivace.

Napoleon · 27. 11. 2016 19:31

↑ Al1:

Jak vyřešim tuhle nerovnici?

Al1 · 27. 11. 2016 19:47

↑ Napoleon:

Zatím řešíš rovnici f'(x)=0. Má řešení x=6 a x=-6. A jestli máš již určen definiční obor funkce, pak vidíš, že v x=-6 nemůže být stacionární bod.

Napoleon · 27. 11. 2016 20:28

A jak zjistím definiční obor?

Protože z kvadraticke jmenovatele mi vychází +- $\frac{5}{6} (\sqrt{11}-6)$

Tak jak může být vyloučen?

Al1 · 27. 11. 2016 20:45 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 20:45)

↑ Napoleon:

Musí platit

$\left(\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}\ge 0\right)\wedge (5x^2+72x+180 \neq0)$

$5x^2+72x+180 \neq0$ má řešení $x_{1,2}\neq-\frac{36}{5}\pm \frac{6\sqrt{11}}{5}$ .

A ještě je třeba dořešit nerovnici $\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}\ge 0$

Napoleon · 27. 11. 2016 20:51

A to vyřeším?
Protože to nevím pro tento případ

Al1 · 27. 11. 2016 21:02 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 21:03)

↑ Napoleon:

$\frac{x^2+36}{5x^2+72x+180}\ge 0$

čitatel je kladný pro všechna reálná čísla, stačí vyřešit jmenovatele. Máš jeho nulové body, prolož jimi konvexní parabolu a hned vidíš, v jakých intervalech je nad osou x.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Napoleon · 27. 11. 2016 22:02

↑ Al1:

Dá se vytknout 6

A jak zjistím že stacionární bod -6 tam nepatří z definicniho oboru? Když definiční obor je +-3.22

Al1 · 28. 11. 2016 07:47

↑ Napoleon:

Shrnu, k čemu jsme se dopracovali

1. Definiční obor
$D(f)=\left(-\infty , \frac{-36-6\sqrt{11}}{5}\right)\cup \left(\frac{-36+6\sqrt{11}}{5},\infty \right)$

$\frac{-36-6\sqrt{11}}{5}\doteq -11,17995; \frac{-36+6\sqrt{11}}{5}\doteq -3,22005$

Zde se podívej na řešení kvadratické rovnice $5x^{2}+72x+180=0$ , tvé kořeny $\pm \frac{5}{6} (\sqrt{11}-6)$ jsou chybné.

2. První derivace

$f'(x)=\frac{36(x-6)(x+6)}{\sqrt{x^{2}+36}\cdot (5x^{2}+72x+180)^{\frac{3}{2}}}$

3. Stacionární body

$\frac{36(x-6)(x+6)}{\sqrt{x^{2}+36}\cdot (5x^{2}+72x+180)^{\frac{3}{2}}}=0\nl$

$x_{1}=-6\nl x_{1}=6$

Stanovíme si také definiční obor první derivace. Je zřejmé, že je totožný s def.oborem funkce.

Vzhledem k def. oborům je zřejmé, že $x_{1}$ nepatří do def. oborů.

Napoleon · 28. 11. 2016 08:55

Jo, to znaménko plus minus má být před odmocninou z 11

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2016 09:14

1. derivace slozene funkce

#2 27. 11. 2016 09:57

Re: 1. derivace slozene funkce

#3 27. 11. 2016 11:31

Re: 1. derivace slozene funkce

#4 27. 11. 2016 11:36

Re: 1. derivace slozene funkce

#5 27. 11. 2016 11:44

Re: 1. derivace slozene funkce

#6 27. 11. 2016 11:57

Re: 1. derivace slozene funkce

#7 27. 11. 2016 11:58

Re: 1. derivace slozene funkce

#8 27. 11. 2016 12:04

Re: 1. derivace slozene funkce

#9 27. 11. 2016 12:12

Re: 1. derivace slozene funkce

#10 27. 11. 2016 12:42

Re: 1. derivace slozene funkce

#11 27. 11. 2016 12:48

Re: 1. derivace slozene funkce

#12 27. 11. 2016 14:06

Re: 1. derivace slozene funkce

#13 27. 11. 2016 15:09

Re: 1. derivace slozene funkce

#14 27. 11. 2016 15:20

Re: 1. derivace slozene funkce

Napoleon napsal(a):

#15 27. 11. 2016 19:31

Re: 1. derivace slozene funkce

#16 27. 11. 2016 19:47

Re: 1. derivace slozene funkce

#17 27. 11. 2016 20:28

Re: 1. derivace slozene funkce

#18 27. 11. 2016 20:45 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 20:45)

Re: 1. derivace slozene funkce

#19 27. 11. 2016 20:51

Re: 1. derivace slozene funkce

#20 27. 11. 2016 21:02 — Editoval Al1 (27. 11. 2016 21:03)

Re: 1. derivace slozene funkce

#21 27. 11. 2016 22:02

Re: 1. derivace slozene funkce

#22 28. 11. 2016 07:47

Re: 1. derivace slozene funkce

#23 28. 11. 2016 08:55

Re: 1. derivace slozene funkce

Zápatí