Matematické Fórum

k.niccy@seznam.cz · 04. 05. 2009 17:28

Ahoj,prosím a pomoc s těmito úlohami:
1.Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 21,součet jejich druhých mocnin je 189.Určete je.
2.Kratší úhlopříčka ,strana a delší úhlopříčka kosočtverce mají délky,které tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů kosočtverce.
Děkuji,tady jsou začátky mého řešení:

Ivana · 04. 05. 2009 17:53

↑ k.niccy@seznam.cz:

k.niccy@seznam.cz · 04. 05. 2009 18:24

No přesně tam také vždy končím:-(

Ivana · 04. 05. 2009 18:49

↑ k.niccy@seznam.cz:.... ty máš ale divné příklady :-(

... tu dvojku bych začala řešit takto ... : a dál nevím :-(

gadgetka

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

svatý halogan · 04. 05. 2009 19:03

$\frac aq + a + aq = 21 \nl \frac{a^2}{q^2} + a^2 + a^2 q^2 = 189$

Umocníme první rovnici

$\frac{a^2}{q^2} + \frac{a^2}{q} + a^2 + \frac{a^2}{q} + a^2 + a^2 q + a^2 + a^2 q + a^2 q^2 = 441$

nahradíme v levé straně členy z druhé rovnice číslem 189.

$2 \cdot (\frac{a^2}{q} + a^2 + a^2 q) = 252 \nl \frac{a^2}{q} + a^2 + a^2 q = 126 \nl a \cdot (\frac aq + a + aq) = 126$

Z toho je vidět, že a je 6. (v závorce je levá strana první rovnice).

gadgetka

u 2. příkladu bych využila toho, že obsah kosočtverce se vypočítá podle vzorců:
$S=\frac{u_1\cdot u_2}{2}\nlS=a_2\cdot \sin \alpha$

a toho, že dva protilehlé úhly jsou stejné a součet vnitřních úhlů je roven 360°.

a víš, že
$u_1=\frac{a_2}{q}\nlu_2=a_2\cdot q\nla=a_2$

$\frac{\frac{a_2}{q}\cdot a_2\cdot q}{2}=a_2\cdot \sin \alpha\nl\frac{a_2^2}{2}=a_2\cdot \sin \alpha\nla_2^2=2a_2\cdot \sin \alpha\nl\sin \alpha=\frac{a_2^2}{2a_2}\nl\sin \alpha=\frac{1}{2}\nl\alpha=30^{\circ}$

$\beta=\frac{360^{\circ}-2\alpha}{2}=\frac{360^{\circ}-60^{\circ}}{2}=150^{\circ}$

k.niccy@seznam.cz · 04. 05. 2009 20:27

Aha,děkuji vám všem moc:-)

Chrpa · 04. 05. 2009 21:14 — Editoval Chrpa (04. 05. 2009 21:14)

↑ gadgetka:
Tak by to určitě šlo
Já to počítal trochu jinak, ale nakonec jsem dospěl ke stejnému výsledku.
q = 2 nebo q = 1/2.
Z toho potom a_1 = 3 nebo a_1 = 12

gadgetka · 04. 05. 2009 21:33

↑ Chrpa:

díky, ale svatý halogan na to šel líp, já to taky všemožně zkoušela, abych to zjednodušila, ale blbě jsem vytkla a nedostala jsem se k tomu prvotnímu vztahu jako halogan, kdo holt umí, ten umí :)

Cheop · 05. 05. 2009 09:27 — Editoval Cheop (05. 05. 2009 10:47)

↑ k.niccy@seznam.cz:
Přece jenom sem napíšu svoje řešení př. 1), abych dokumentoval
jak 3 různé postupy vedou k jedné rovnici:
Ta rovnice je tato $2q^2-5q+2=0$ k této rovnici se dostane svými výpočty jak ↑ svatý halogan: tak i ↑ gadgetka:
Teď můj postup výpočtu, který nakonec vyústí k té samé rovnici výše uvedené:
Můžeme psát:
1) $a_1(1+q+q^2)=21$
2) $a_1^2(1+q^2+q^4)=189$ první rovnici umocníme a dostaneme:
3) $a_1^2(1+q+q^2)^2=441$ porovnáme rovnici 2) a 3)

$\frac{441}{(1+q+q^2)^2}=\frac{189}{1+q^2+q^4}$ když si s touto rovnicí pohráme a upravíme dospějeme k tomuto:
$2q^4-3q^3-q^2-3q+2=0$ jde o reciprokou rovnici, kterou vydělíme $q^2$ a dostaneme:
$2\left(q^2+\frac{1}{q^2}\right)-3\left(q+\frac 1q\right)-1=0$ zavedeme substituci: $q+\frac 1q=a$ umocníme $a^2$ a dostaneme:
$q^2+2+\frac{1}{q^2}=a^2\,\Right\,\left(q^2+\frac{1}{q^2}\right)=a^2-2$ takže dostáváme:
$2(a^2-2)-3a-1=0\nl2a^2-3a-5=0\nla_1=\frac 52\nla_2=-1$ vrátíme se k substituci a dostaneme:
$q+\frac 1q=\frac 52$ - úpravou:
$2q^2-5q+2=0$ což je ona výše uvedená rovnice.

Pro $a=-1$ vyjde rovnice, $q^2+q+1=0$ která nemá řešení v oboru přirozených čísel.

PS: Musím smutně konstatovat, že můj postup je zcela určitě nejkomplikovanější.

gadgetka · 05. 05. 2009 10:43

↑ svatý halogan:

svatý halogane, už abys odmaturoval a byl z Tebe zase jen "pouhopouhý" halogan :)) Nebo se pletu? Nedá se to vydržet, viď, nepřispívat... držím pěsti, ať 18. 5. omráčíš maturitní komisi se samými výbornými!

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2009 17:28

Geometrická posloupnost

#2 04. 05. 2009 17:53

Re: Geometrická posloupnost

#3 04. 05. 2009 18:24

Re: Geometrická posloupnost

#4 04. 05. 2009 18:49

Re: Geometrická posloupnost

#5 04. 05. 2009 18:52 — Editoval gadgetka (28. 05. 2014 22:36)

Re: Geometrická posloupnost

#6 04. 05. 2009 19:03

Re: Geometrická posloupnost

#7 04. 05. 2009 19:44 — Editoval gadgetka (04. 05. 2009 19:44)

Re: Geometrická posloupnost

#8 04. 05. 2009 20:27

Re: Geometrická posloupnost

#9 04. 05. 2009 21:14 — Editoval Chrpa (04. 05. 2009 21:14)

Re: Geometrická posloupnost

#10 04. 05. 2009 21:33

Re: Geometrická posloupnost

#11 05. 05. 2009 09:27 — Editoval Cheop (05. 05. 2009 10:47)

Re: Geometrická posloupnost

#12 05. 05. 2009 10:43

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí