Matematické Fórum

admn5 · 26. 11. 2016 12:31

Tři skoby jsou zatlučeny ve vodorovném stropě tak, že tvoří rovnostranný trojúhelník o straně a =80cm. Na každé z nich je upevněno lanko o délce l=1m a průřezu S=0,2 mm2. Tato lanka jsou na druhém konci zapletena k sobě a je na nich zavěšen ozdobný květináč s květinami. Jakou maximální hmotnost může mít květináč s květinami, je-li maximální dovolené relativní prodloužení lanka 5%? Modul pružnosti v tahu lanka je E=20GPa .

Počítám zatím takhle:
$\frac{m*g}{S}=E*\varepsilon$
$m=\frac{E*\varepsilon*S}{g}$

Jen nevím, jak tam čarovat s tou délkou strany a, pak tím lankem l. Ve výsledku jim vychází tohle:
$m=\frac{3*E*\varepsilon*S}{g} *\sqrt{1-\frac{a^{2}}{3l^{2}(1+\varepsilon ^{2})}}$

Moc tomu nerozumím, jak na to přišli a tak bych byl moc vděčný, kdyby mi byl někdo schopen nastínit, co s tím...
Tu 3 v čitateli ještě dokážu pochopit (? jako tři strany trojúhelníku), ale nejsem si v tom příkladu celkově úplně jist.

Děkuji moc.

jelena · 28. 11. 2016 22:49

Zdravím,

pokud ještě aktuální, potom k obrázku - závěs lánek tvoří boční hrany trojbokého jehlanu (na obrázku, jen obrátit vrcholem V dolu, to jsou AV, BV, CV. Skoby na stropě tvoří trojúhelník ABC. Když budeš provádět rozklad sil, bude třeba uvažovat geometrii v tomto jehlanu.

Tíha květináče má být v rovnováze se součtem svislých projekcí tahových sil v jednotlivých lankách. Když rozkreslíš geometrii, mělo by to být více zřejmé.

zdenek1 · 29. 11. 2016 12:50

↑ admn5:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/19534_pic.png
Potřebuješ spočítat úhel $\alpha =\sphericalangle EFA$
vzdálenost $|AE|=\frac{\sqrt{3}a}{3}$ (dvě třetiny výšky rovnostranného trojúhelníka)
vzdálenost $|AF|=l+\Delta l=l(1+\varepsilon)$ (po zavěšení se lanko protáhne)

v trojúhelníku $AEF$ platí $\sin\alpha =\frac{|AE|}{|AF|}=\frac{\sqrt3 a}{3l(1+\varepsilon )}$

síla v lanku $F$ má svislou složku $F_y=F\cos\alpha$ (na obrázku je to všechno vzhůru nohama, ale snad to nevadí)
lanka jsou tři, takže musí platit
$G=3F_y$ , z čehož dostaneš $F=\frac{G}{3\cos \alpha }$

také platí $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{a^2}{3l^2(1+\varepsilon )^2}}$ , takže
$F=\frac{G}{3\sqrt{1-\frac{a^2}{3l^2(1+\varepsilon )^2}}}$ (1)

Z Hookova zákona máš $F=\varepsilon ES$ (2)
a když porovnáš (1)=(2), dostaneš
$\varepsilon ES=\frac{mg}{3\sqrt{1-\frac{a^2}{3l^2(1+\varepsilon )^2}}}$

a je to