Matematické Fórum

Tanner · 02. 12. 2016 14:16

Zdravím,
Mám tady jeden příklad, u kterýho netuším, jak přesně začít.
.
Řešte volný pád z výšky $h$ k zemskému povrchu v místě se zeměpisnou šířkou $\varphi$ . Při řešení zanedbejte závislost gravitačního zrychlení na vzdálenosti (uvažujte homogenní tíhové pole) a členy obsahující úhlovou rychlost rotace Země $\omega$ považujte za mnohem menší než členy obsahující $gt$ . Uvažujte hodnoty
$h=100m,$
$\varphi =0^\circ$ (rovník) a
$\varphi =49^\circ 36'$

Díky za případné reakce.

Tanner · 03. 12. 2016 12:47

↑ Tanner:
Výsledek má být $y(t)=\frac{g\omega t^3cos\varphi }{3}$ . Ale vůbec mi nesedí, jak se dostanu k tomu $cos\varphi$ z pohybových rovnic pro volný pád, nebo mi něco uniká ?

Jj · 03. 12. 2016 15:02

↑ Tanner:

Tanner napsal(a):
↑ Tanner:
Výsledek má být $y(t)=\frac{g\omega t^3cos\varphi }{3}$ . Ale vůbec mi nesedí, jak se dostanu k tomu $cos\varphi$ z pohybových rovnic pro volný pád, nebo mi něco uniká ?

Výsledek čeho? Na pólu $\cos \varphi = 0 \Rightarrow y(t) \equiv 0$ , takže nevím, co vlastně y(t) vyjadřuje. Čekal bych třeba výšku tělesa v čase t - ale na to to nevypadá.

Tanner · 03. 12. 2016 15:08 — Editoval Tanner (03. 12. 2016 15:12)

↑ Jj:

Napsal jsem sem celé zadání, co jsem dostal. Sám nevím, co si o tom pořádně myslet.

Btw

$cos0=1$

A pro $0^\circ$ na rovníku to má vyjít $22mm$ a pro $49^\circ 36'$ to má vyjít $14mm$ , tudíž hádám že y(t) je dráha.

Jj · 03. 12. 2016 16:08

↑ Tanner:

Nezkoušel jsem to, ale nebude to "dráha" o niž se bod dopadu posune z důvodu otáčení Země ? Ta by měla mít maximum na rovníku a minimum (=0) na pólu? (nebo něco podobného ?)

Tanner · 03. 12. 2016 16:19

Je to možný, ale nevím, jak přesně by se to počítalo ?

Já zkoušel sestavit diferenciální rovnici

$m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-2m\omega vsin\varphi$ , kde $\frac{dx}{dt}=v$ ..ale nějak se k tomu stejně nemůžu dopátrat, takže už vážně netuším

medvidek · 05. 12. 2016 05:35

Ahoj,
Coriolisovo zrychlení je
$\vec{a}_c=2 \vec{v} \times \vec{\omega}$ .
Pokud nás zajímá jen velikost zrychlení, máme
$a_c = 2v \omega \sin \alpha$ .
Zde je užitečné si uvědomit, že $v$ míří dolů, zatímco $a_c$ míří na východ.

Místo úhlu $\alpha$ lze použít zeměpisnou šířku $\varphi$
$a_c = 2v \omega \cos \varphi$ .

Protože rychlost volného pádu je funkcí času
$v=gt$ ,
je Coriolisovo zrychlení
$a_c(t) = 2gt \omega \cos \varphi$ .

Dvojí integrací dostaneme výchylku směrem na východ způsobenou Coriolisovou silou
$x(t)=\iint a_c(t) \mathrm d t \mathrm d t = \frac{1}{3} gt^3 \omega \cos \varphi$ .

Za čas $t$ pak stačí dosadit dobu volného pádu.

"Dopustili" jsme se několika nepřesností, například byl využit předpoklad, že $\vec v$ mění pouze svou velikost, ale nemění směr. Dále také byla zanedbána odstředivá síla, díky které bychom mohli počítat s efektivním tíhovým zrychlením, které nemíří přesně do středu Země.

Tanner · 05. 12. 2016 08:22

↑ medvidek:

Díky moc za odpověď! :) Jen mi není úplně jasný, jak jsem dostal z $a_c = v \omega \sin \alpha$ $a_c = v \omega \cos \varphi$ ...mám to brát tak, že "fí" se nerovná "alpha" ?

zdenek1 · 05. 12. 2016 09:31

↑ Tanner:
nerovná
$\alpha$ je úhel mezi $v$ a $\omega$
$\varphi$ je zeměpisná šířka

Tanner · 07. 12. 2016 18:38

↑ medvidek:

Opožděně, ale přece..díky moc ! :) Dávám vyřešeno

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2016 14:16

Volný pád z výšky h

#2 03. 12. 2016 12:47

Re: Volný pád z výšky h

#3 03. 12. 2016 15:02

Re: Volný pád z výšky h

Tanner napsal(a):

#4 03. 12. 2016 15:08 — Editoval Tanner (03. 12. 2016 15:12)

Re: Volný pád z výšky h

#5 03. 12. 2016 16:08

Re: Volný pád z výšky h

#6 03. 12. 2016 16:19

Re: Volný pád z výšky h

#7 05. 12. 2016 05:35

Re: Volný pád z výšky h

#8 05. 12. 2016 08:14 Příspěvek uživatele garunekk byl skryt uživatelem garunekk.

#9 05. 12. 2016 08:22

Re: Volný pád z výšky h

#10 05. 12. 2016 09:31

Re: Volný pád z výšky h

#11 07. 12. 2016 18:37 Příspěvek uživatele garunekk byl skryt uživatelem garunekk.

#12 07. 12. 2016 18:38

Re: Volný pád z výšky h

Zápatí