Matematické Fórum

vihr22 · 03. 12. 2016 18:34

dobrý den na seminář jsem dostal za úkol vyřešit tento příklad. něco jsme zkusil, ale protože nemám výsledek , tak nevím, zda je to správně:
Určete objem tělesa vzniklého rotací rovinné oblasti ohraničené křivkami $y=x^{3}$ ; y=0 a x=2 kolem osy y.
Můj návrh řešení:
$x=\sqrt[3]{x}$
potom y=8, když za x dosadím 2

$\int_{0}^{8}\pi (\sqrt[3]{y})^{2}dy = \pi [\frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{5}]=$

po výpočtu dostanu $\pi \frac{\sqrt[3]{8^{5}}}{5}$

Prosím, prosím o kontrolu, popřípadě správné řešení.
Moc děkuji
Radek

Jj · 03. 12. 2016 21:16

↑ vihr22:

Dobrý den.

1. Je chybka v integraci - podle vzorečku k integraci mocniny proměnné vychází

$\pi \int_{0}^{8}y^{2/3}dy = \pi\, \frac{3}{5}\left[y^{5/3}\right]_0^8=\cdots$

2. Řekl bych ovšem, že to není řešení dané úlohy. Uvedeným integrálem se spočítá objem tělesa vzniklého rotací oblasti omezené křivkami y=x^3, x = 0, y = 8 kolem osy y. Rotovat však má oblast mezi křivkou y = x^3 a x = 2, zdola omezená osou x. Pro ujasnění je třeba udělat si náčrtek.

3. Při nezměněném postupu je možno užít integrál $\pi \int_{0}^{8}(2^2 - x^2)dy$ - tzn. integrovat mezikruží mezi kružnicemi o poloměru = 2 a poloměru = x^2 přes proměnnou y.

Tentýž výsledek lze obdržet, když se od obsahu válce o poloměru 2 a výšce 8 odečte výsledek integrálu dle bodu 1.

3. Z náčrtku třeba vyplyne další možný postup - integrovat z "opačné" strany - přes proměnou x:

$dV = 2\pi x \cdot y \,dx \Rightarrow V=2\pi \int_0^2 x y\, dx$ - tzn. integrovat objemy dutých válečků o poloměru x, výšce y a "tloušťce" dx, což znamená jednodušší integraci.

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2016 18:34

Určitý integrál

#2 03. 12. 2016 21:16

Re: Určitý integrál

Zápatí