Matematické Fórum

liamlim

Ahoj,

Už nějakou dobu mě zajímají tělesa a došel jsem k něčemu docela zajímavému. Zde píši, abych shrnul své myšlenky a případně byl upozorněn na chybné úvahy.

Nejprve zavedu značení. Nechť $f_1(a,b) = a + b$ a $f_0(a,b) = a\cdot b$ . Zřejmě platí $f_1(a,b) = \ln(f_0(e^a,e^b))$ .

Zkusme nyní pro obecné $n$ definovat $f_n(a,b) = \ln(f_{n-1}(e^a, e^b))$ . S touto definicí nám kupříkladu vyjde $f_2(a,b) = \ln(e^a + e^b)$ přičemž je splněna důležitá podmínka těles! Totiž distributivita:

$f_1(a,f_2(b, c)) = f_2(f_1(a,b), f_1(a,c))$ .

Nemám dokázáno, že pro $f_{n-1}$ a $f_n$ bude platit distributivita, ale velmi v to věřím (pro obecné $n$ ). Věřím v to, protože i když definujeme $f_{-1}(a,b) = a^{\ln(b)}$ , které nám ukazuje, jak přirozeným způsobem rozšířit definici funkcí i do záporných indexů, distributivitu společně s násobením splňuje.

Jde vidět, že mnou definované funkce splňují ostatní axiomy těles, které nevyžadují neutrální prvky. Zde mám otázku. Myslíte si, že je možné doplnit neutrální prvky vzhledem ke každé mnou definované operaci? Ideálně tak, aby byly jedinečné?

Totiž takto, platí následující:

$f_{-1}(a,e) = a$ & $f_{-1}(a,1) = 1$
$f_0(a,1) = a$ & $f_0(a,0) = 0$
$f_1(a,0) = a$ & $f_1(a,-\infty) = -\infty$
$f_2(a, -\infty) = a$ & $f_2(a, \infty) = \infty$

Bohužel nějak hlouběji do struktury funkcí $f_k$ nevidím. Nemáte někdo lepší vhled? Minimálně pro záporné indexy podle mě budou neutrální prvky nadále existovat. Ale s existencí neutrálních prvků v kladných indexech si nejsem jistý. Díky!

edit: oprava indexů

vanok · 04. 12. 2016 16:35

Ahoj,
Nemam cas prehlbit tvoje pisanie.
Tu som pisal, zda sa mi o nie com analogickom
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=86983

Dobre pokracovanie

liamlim · 04. 12. 2016 16:46

↑ vanok:

O tom vláknu vím a četl jsem jej. To co popisuji je, že věřím, že takových dvojic tvořících těleso je nekonečně mnoho a že je mezi nimi nějaký rekurzivní vztah. Jediný problém je v obecném důkazu distributivity a v nalezení neutrálních prvků ke každé takové operaci.

Ten vztah mezi operacemi $a+b$ , $a\cdot b$ , $a^{\ln b}$ , který jsem uváděl, není tak úplně jen od pohledu zřejmý. Je zřejmý až pokud přidáme další operaci $\ln(e^a + e^b)$ . Velmi by mě zajímalo, jestli kupříkladu platí nějaká pěkná vlastnost mezi operacemi $\ln(e^a + e^b)$ a $a^{\ln(b)}$ . To jistě budu zkoušet.

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2016 15:43 — Editoval liamlim (04. 12. 2016 15:57)

Tělesa

#2 04. 12. 2016 16:35

Re: Tělesa

#3 04. 12. 2016 16:46

Re: Tělesa

#4 04. 06. 2018 19:04 Příspěvek uživatele ivetuska byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

Zápatí