Matematické Fórum

Bati · 06. 12. 2016 01:21

Ahoj,
o důležitosti základního lemmatu v.p. asi nemusím psát, takže přestože následující modifikace bude úplně elementární, rád bych se o ní podělil.

Každý bude znát jednoduchou verzi, totiž že když $f$ je spojitá v $(a,b)$ a $\int_a^bf\varphi=0$ pro všechny hladké $\varphi$ s kompaktním nosičem (ozn. $C^{\infty}_c$ ), potom $f=0$ v $(a,b)$ . K důkazu sporem stačí najít jednu vhodnou testovací funkci.

Už ne každý zná obecnější verzi, kdy předpokládáme pouze $f\in L^1(\Omega)$ , $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ a získáme $f=0$ skoro všude v $\Omega$ . Pominu-li tvrzení o hustotě $C^{\infty}_{c}$ funkcí v $L^1$ (např.), tato verze je jednoduchým důsledkem věty o lebesgueovských bodech.

Otázka zní, co lze říct o $f\in L^1$ , pokud víme jen, že $\int_{\Omega}f\varphi=0$ pro všechny $\varphi\in C^{\infty}_c$ splňující $\int_{\Omega}\varphi=0$ .

Uvítám, když někdo přijde s dalšími modifikacemi.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2016 01:21

Základní lemma variačního počtu

Zápatí