Matematické Fórum

MisaKr · 10. 12. 2016 14:32

Ahoj, pomohli byste mi prosím s těmito příklady?

a) $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}$

b) $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{mki}$

c) $\delta _{ij}x_{j}$

d) $\delta _{ik}x_{i}x_{k}$ , kde $x_{i}$ jsou složky jednotkového vektoru

e) $\alpha _{ik}x_{k}$ , kde $\overrightarrow{x} = (cos(\varphi ),sin(\varphi ),0)$ a $\alpha$ je matice rotace

Vím, že to nejsou zrovna nejtěžší příklady které mohou být, ale o přednášce mechaniky se téma jen proletělo a řešený příklad jsem nikdy neviděla.

Xellos · 10. 12. 2016 14:40

Najprv si uvedom, ze ak je nejaky index niekde 2x, tak sa cez neho scitava; ak je len raz, tak sa nescitava a musi ostat aj vo vysledku.

Vies ako su tie symboly definovane?

c) je ultra jednoduche, zacni tym

pri a) sa zamysli cez kolko moznosti sa scitava a aku hodnotu ma kazdy scitanec, je to tiez jednoduche

podobne pri b), ale pomoze ked si vhodne poprehadzujes indexy (pri kazdom prehodeni indexov musis prenasobit -1)

d) je podobne ako c), vsimni si ze vysledok je cislo (skalar)

vysledok e) je proste zarotovany jednotkovy vektor; bez konkretneho tvaru tej matice sa neda nic dalsie povedat

MisaKr · 10. 12. 2016 15:01

Vážně se stydím, ale pořád moc nevím.

c) $\delta _{ij}x_{j }= \sum_{i,j=1}^{3} \delta _{ij}x_{j}=\sum_{i=1}^{3}\delta _{i1}x_{1}+\delta _{i2}x_{2}+\delta _{i3}x_{3}$

b) $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{mki}=-\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imk}=-(\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{jk}\delta _{km})$

mám to chápat tak?

Xellos · 10. 12. 2016 15:36

c) suma je len cez j, lebo j je tam 2x; i je tam 1x, takze cez neho sa nescitava
b) $\varepsilon_{mki}=\varepsilon_{imk}$ lebo na to treba 2 prehodenia indexov, dalej sa tam chybne objavil index l; inak ten vzorec je spravny, ale namiesto l tam ma byt k a vtedy sa to da silno zjednodusit

$\delta_{ij}$ je 0 ak $i \neq j$ , 1 ak $i=j$ - co to znamena pre c)?
$\varepsilon_{ijk}$ je 0 ak i,j,k nie su vsetky rozne (vzdy jeden z nich rovny 1, 2 resp. 3); inak $\varepsilon_{123}=1$ atd podla znamienka permutacie (teda len 1 a -1)

MisaKr · 10. 12. 2016 16:52

a) $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk} = \delta _{jj}\delta _{kk}-\delta _{jk}\delta _{kj}=1$

b) $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{mki}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imk}=\delta _{jm}\delta _{kk}-\delta _{jk}\delta _{km}=\delta _{jm}-\delta _{jk}\delta _{km}$

c) $\delta _{ij}x_{j}= \sum_{j=1}^{3}\delta _{ij}x_{j}=\sum_{j=1}^{3}\delta _{i1}x_{1}+\delta _{i2}x_{2}+\delta _{i3}x_{3}$

Xellos · 10. 12. 2016 17:04

a) klasicka chyba: $\varepsilon_{ijk}^2=1$ automaticky pre kazdu konkretnu trojicu roznych i,j,k lebo to je bud $-1^2$ alebo $1^2$ ; tu ale mame sumu, takze vysledok je 1*pocet tych trojic - kolko ich je?
s tvojim vzorcovym pristupom je problem ten, ze to plati pre jedno pevne i, takze uz tam nevidno tu sumu; navyse aj $\delta_{jj}$ je suma (2x index j) takze $\delta_{jj}=3$ atd.

c) rozpisovat cez indexy nema zmysel (navyse ked to spravis tak sumu uz nepises); zamysli sa nad definiciou $\delta_{ij}$ : kolko bude podla nej $\sum_{j=1}^3 \delta_{ij}x_j$ ? (ma vyjst velmi, velmi kratky vysledok)

Rumburak

↑ MisaKr:

Ahoj.

Sčítá se podle indexů, které se ve výraze tvaru součinu vyskytují dvakrát. Například

$a_{i, j, k} b_{k,i, l, m} = \sum_i \sum_ka_{i, j, k} b_{k,i, l, m}$ ,

sčítá se v rámci oboru hodnot příslušných indexových proměnných.

Někdy se to ještě zpřísňuje podmínkou, že z oněch dvou výskytů musí být jeden
nahoře a druhý dole, např. $C_{i,j}d^i$ (v symbolu $d^i$ jde o horní index a nikoliv
nutně o mocninu). Případ $\sum_i u_{i, i}^2$ bychom pak napsali s použitím "Kroneckerova
delta" ve tvaru $u_i \delta^{i,j}u_j$ .