Matematické Fórum

evulka.nov · 05. 05. 2009 21:01

Ahojky, pomohl by mi nekdo prosim s dvouma prikladama na rozhodnuti o konvergenci ci divergenci rad prosim prosim?
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{\frac{n}{2}}\cdot2^3}{8^{n+1}}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{2^n\cdot n!}$

lukaszh · 05. 05. 2009 21:16

↑ evulka.nov:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{\frac{n}{2}}\cdot2^3}{8^{n+1}}=2^3\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4^{n}}}{8^{n}\cdot8}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4^{n}}}{8^{n}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n}}{8^{n}}$
Využil som porovnávacie kritérium pre rady s kladnými členmi. Porovnávam rad s geometrickým radom s kvocientom menším ako 1. Rad teda konverguje.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{2^n\cdot n!}$
Pri tomto rade sa dobre uplatní d'Alembertovo podielové kritérium.
$\limsup_{n\to\infty}\frac{(n+2)!}{2^{n+1}(n+1)!}\cdot\frac{2^n\cdot n!}{(n+1)!}=\limsup_{n\to\infty}\frac{n+2}{2\cdot(n+1)}=\frac{1}{2}\,<\,1$
Rad teda tiež konverguje.

Alesak · 05. 05. 2009 21:18

$\sum_{n=1}^{\propto}\frac{4^{\frac{n}{2}}\cdot2^3}{8^{n+1}}$

tady staci pocitat s mocninama, uvedomit si ze $4^{\frac{n}{2}}$ je ${4^{\frac{1}{2}}}^n$ a to je $2^n$ . $8^{n+1}$ je $8\cdot8^n$ . ted kdyz si s tim trochu pohrajes tak ti vyleze obycejna geometricka rada(jestli nevis jak tak napis)

$\sum_{n=1}^{\propto}\frac{(n+1)!}{2^n \cdot n!}$
to se rovna(vis proc?)
$\sum_{n=1}^{\propto}\frac{n}{2^n}$

pouzil bych to sami jako lukaszh, byl rychlejsi