Matematické Fórum

evulka.nov · 05. 05. 2009 22:43

Podnik vyrábí 2 typy přístrojů Q1 a Q2. Bylo zjištěno, že účelovou funkci U popisuje rovnice U = Q1*Q2. výrobu omezuje rozpočtové omezení Q1+4Q2=120. optimalozujte účelovou funkci. V optimálním bodě určit hodnotu totálního diferenciálu dU.
Mohl by mě prosím někdo nakopnout na výpočet tohoto příkladu, prosím. dííííky....

micro_cz · 05. 05. 2009 23:52

predpokladam ze optimalizaci se mysli najit vazane maximum ucelove funkce s rozpoctem jako vazbou
1) sestavis lagrangian $L = Q1 Q2 - \lambda (Q1 + 4Q2 - 120)$

2) prvni derivace lagrangianu podle Q1,Q2,lamda:
$\frac{dL}{dQ1} = Q2 - \lambda$
$\frac{dL}{dQ2} = Q1 - 4\lambda$
$\frac{dL}{d\lambda} = Q1 + 4Q2 - 120$

3) nutna podminka pro vazany extrem (polozime rovno nule) => dostaneme optimum Q1*,Q2*
$Q2^* = \lambda = \frac{15}{2} = 7,5$
$Q1^* = 30$

4) ted se presvedcime, ze jsme nalezli maximum
4a) nejprve druhe derivace:
$\frac{d^2L}{dQ1^2} = 0$
$\frac{d^2L}{dQ2^2} = 0$
$\frac{d^2L}{dQ1dQ2} = 1$

4b) ted sestavime druhy totalni diferencial lagrangianu
$0 dQ1^2 + 2 dQ1dQ2 + 0 dQ2^2$

4c) ted z prvnich derivaci vazby (rozpoctu) sestavime totalni diferencial a vyjadrime jeden z jeho clenu pomoci druheho
$1 dQ1 + 4 dQ2$
$dQ1 = -4 dQ2$

4d) dosadime do druheho totalniho diferencialu lagrangianu a ziskame jeho redukovanou kvadratickou formu v R1
$-8 dQ2^2$
tato redukovana forma je negativne definitni => skutecne jsme nalezli maximum

5) ted zbyva najit totalni diferencial dU v bodě optima Q1*, Q2*
$dU = \frac{dU}{dQ1}(Q1^*,Q2^*) dQ1 + \frac{dU}{dQ2}(Q1^*,Q2^*) dQ2$
$dU = 7,5 dQ1 + 30 dQ2$
$dU = 7,5 (Q1 - 30) + 30 (Q2 - 7,5)$
$dU = 7,5 Q1 + 30 Q2 - 450$

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2009 22:43

totální diferenciál

#2 05. 05. 2009 23:52

Re: totální diferenciál

Zápatí