Matematické Fórum

Vetešník

Dobrý den,
poradil by mi někdo prosím s příkladem:
Určete obsah plochy zadané nerovnostmi $\frac{2}{x^{3}}\le y\le \frac{4}{x^{2}},x\ge 2$ . Výsledek je $\int_{2}^{\infty }(\frac{4}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}})dx=\frac{7}{4}$ ale nevím jak se dopočítat k tomu nekonečnu v integrálu. Když jsem počítal, dopočítal jsem se k výsledku $\int_{2}^{\frac{1}{2} }(\frac{4}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}})dx=\frac{-9}{4}$ .

Děkuji

Cheop · 19. 12. 2016 14:53 — Editoval Cheop (19. 12. 2016 14:53)

↑ Vetešník:
No když je podmínka
$x\ge 2$ pak to znamená, že integrujeme podle x od 2 do nekonečna

Rumburak

↑ Vetešník:

1) S nekonečnem v horní mezi se zde pracuje tak, že místo "přímého" dosazení do prim. fce se spočítá její limita v tomto nevlastním bodě.

2) Mně výsledek vyšel 7/4.

Vetešník · 19. 12. 2016 18:02

a podle čeho se rak určuje? u některých integrálů se dosazuje výsledek rovnice ze zadané nerovnosti?

Al1 · 19. 12. 2016 18:15

↑ Vetešník:

Zdravím,

počítáš nevlastní integrál

$\int_{2}^{\infty }\left(\frac{4}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right)dx=\lim_{ t \to \infty}\int_{2}^{t}\left(\frac{4}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right) dx$

jarrro · 19. 12. 2016 19:26 — Editoval jarrro (19. 12. 2016 19:27)

Myslím že autor nemá problém s výpočtom ale so zostavením integrálu. Treba si to nakresliť kľudne aj počítačom a uvidíš že 1/2 ako medza nemá zmysel( pri danom zadaní). Navyše obsah nemôže byť záporný

Vetešník

Ale já mám v zadání jen tohle: $\frac{2}{x^{3}}\le y\le \frac{4}{x^{2}},x\ge 2$

jarrro · 19. 12. 2016 19:29

↑ Vetešník:Veď práve. Nemôžeš odignorovať časť zadania ( $x\geq 2$ )

Vetešník · 19. 12. 2016 19:30

↑ jarrro:
přesně tak, výpočet není problém, jen ten integrál. I to, že obsah nemůže být záporný je jasné. Nakreslit pomocí počítače nemůžu, mám to jako příklad ke zkoušce...

Vetešník · 19. 12. 2016 19:41

↑ jarrro: $x\ge 2$ tzn, že integrujeme od 2, ale proč do $\infty$

jarrro · 19. 12. 2016 19:54 — Editoval jarrro (19. 12. 2016 19:54)

↑ Vetešník:Lebo $\{x\in\mathbb{R} : x\geq 2\}=\left\langle 2, \infty\right)$

Vetešník · 19. 12. 2016 20:23

↑ jarrro:
ano, takto bych to chápal, ale jak je to tedy u příkladu: $2x^{2}-6\le y\le 9-x^{2}, x\ge 2$ , kde integrál je: $\int_{2}^{\sqrt{3}}$

Al1 · 19. 12. 2016 20:41

↑ Vetešník:

A nemá být horní mez $\sqrt{5}$ ? Obě křivky se totiž protínají v bodech $[\sqrt{5}; 4], [-\sqrt{5}; 4]$

Vetešník · 19. 12. 2016 20:49

↑ Al1:
jasně je to $\sqrt{5}$ jen jsem se překlep

Al1 · 19. 12. 2016 21:12

↑ Vetešník:

Obě paraboly se tedy protínají v bodech $[\sqrt{5}; 4], [-\sqrt{5}; 4]$ . Ty počítáš obsah mezi oběma křivkami a s dalším ohraničením x=2 a x= $\sqrt{5}$ . Je dobré si obě fce zakreslit. Je zřejmé, že graf fce $y=9-x^{2}$ je nad grafem fce $y=2x^{2}-6$

Integrál sestavíš takto
$\int_{2}^{\sqrt{5}}\left((9-x^{2})-(2x^{2}-6)\right) dx$

jarrro · 20. 12. 2016 14:20 — Editoval jarrro (20. 12. 2016 14:25)

↑ Vetešník:To je iné lebo pre x viac ako $\sqrt{5}$ neexistuje žiadne y čo by splňovalo danú podmienku. resp. podoblasť danej oblasti ktorá obsahuje body so súradnicami väčšími ako odmocnina 5 je prázdna množina, teda má nulový obsah.
Naproti tomu v pôvodnej úlohe je obsah podoblasti, ktorá obsahuje body so súradnicami x väčšími ako $k$ kladný pre každé $k\geq 2$ .

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2016 14:20 — Editoval Vetešník (19. 12. 2016 14:21)

Obsah plochy zadané nerovnostmi

#2 19. 12. 2016 14:53 — Editoval Cheop (19. 12. 2016 14:53)

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#3 19. 12. 2016 15:01 — Editoval Rumburak (19. 12. 2016 15:05)

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#4 19. 12. 2016 18:02

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#5 19. 12. 2016 18:15

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#6 19. 12. 2016 19:26 — Editoval jarrro (19. 12. 2016 19:27)

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#7 19. 12. 2016 19:27 — Editoval Vetešník (19. 12. 2016 19:27)

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#8 19. 12. 2016 19:29

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#9 19. 12. 2016 19:30

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#10 19. 12. 2016 19:41

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#11 19. 12. 2016 19:54 — Editoval jarrro (19. 12. 2016 19:54)

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#12 19. 12. 2016 20:23

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#13 19. 12. 2016 20:41

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#14 19. 12. 2016 20:49

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#15 19. 12. 2016 21:12

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

#16 20. 12. 2016 14:20 — Editoval jarrro (20. 12. 2016 14:25)

Re: Obsah plochy zadané nerovnostmi

Zápatí