Matematické Fórum

Danica · 06. 05. 2009 10:44

Zadání:
Distribuční fce náh veličiny X je dána $F(x)=a+b.arctg\frac{x}{3}$ .
Pro x náleží (-3;3) A F(x) pro ostatní hodnoty náh.veličiny X.
Mám určit konstanty a a b a stanovit střední hodnotu.

Tak nějak s pomocí nějakých vzorových příkladu si myslím,že by se mělo $a=\frac{1}{2}$ a $b=\frac{1}{\Pi}$
Počítala to i kamarátka a tý to vyšlo $a=\frac{1}{2}$ a $b=\frac{2}{\Pi}$

Může nás někdo rozsoudit a napsat nějakej polopatisitickej postup jak se dopracovat k správnýmu výsledku?
Tu střední hodnotu jsme nezvládli vůbec.
Předem dík.

jelena · 07. 05. 2009 00:11 — Editoval jelena (07. 05. 2009 00:12)

↑ Danica:

F(x) musí být spojitá v bodech (-3), 3:

Teď to bude velmi polopaticky, moc se omlouvám, jinak bych to stejně neuměla :-)

- když jdeme zleva z -oo k (-3) zleva, tak lim F(x) = 0,
odcházíme z (-3) doprava lim F(x) = a+b*arctg(x/3).
V (-3) tedy přejdeme z 0 na hodnotu lim F(x) = a+b*arctg(x/3), musí se rovnat.

- když dojdeme zleva k (3), tak lim F(x) = a+b*arctg(x/3), když odcházíme doprava od (3), tak lim F(x)=1.
Tady se musí rovnat hodnoty lim F(x) = a+b*arctg(x/3) jedničce.

Vznikne soustava:

1. rovnice pro x=-3

$0=a+b\cdot \mathrm {arctg\frac{-3}{3}}$ , po úpravě:

$0=a+b\cdot arctg (-1)$

$0=a-b\frac{\pi}{4}$

2. rovnice pro x=3:

$a+b\cdot \mathrm{arctg\frac{3}{3}}=1$

$a+b\frac{\pi}{4}=1$

tedy z mého výpočtu $a=\frac{1}{2}$ , $b=\frac{2}{\pi}$

Pro střední hodnotu - vzorec a spravně derivovat F(x)=a+b*arctg(x/3), a, b dosadte to, co vyslo.

$f(x)=F^{\prime}(x)$ mimo -3 az 3 f(x) je nulova.

$E(X) = \int_{-3}^{3}x\cdot f(x)dx$

OK?

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2009 10:44

Distribuční fce náh.veličiny

#2 07. 05. 2009 00:11 — Editoval jelena (07. 05. 2009 00:12)

Re: Distribuční fce náh.veličiny

Zápatí