Matematické Fórum

orisk · 25. 12. 2016 16:02

Dobrý den, může mi někdo prosím vysvětlit, jakým postupem se došlo k (ϕ)α,α?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/77970_Screenshot_3.png

Předem děkuji za odpovědi.

vytautas · 25. 12. 2016 19:50

↑ orisk:

Ahoj,
čo je zobrazenie $\varphi$ ?

orisk · 25. 12. 2016 20:07

↑ vytautas:
Jo, tohle je zadání.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/92849_Screenshot_4.png

vytautas · 26. 12. 2016 00:51

↑ orisk:

výborne, teraz to už pôjde.

Ako je definovaná matica $\varphi_{\alpha,\alpha}=\[\varphi\]_\alpha^\alpha$ ?
(len som si to preznačil, druhé značenie je podľa mňa názornejšie)

orisk · 26. 12. 2016 01:06

↑ vytautas:

Ten druhý obrázek, co jsem poslal je celé zadání.
Přidávám ještě celý postup výpočtu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-12/10622_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Potřebuji vědět, jak se dopracovalo k té červeně podtržené matici (ϕ)α,α. Zbytek dopočítat umím

vanok · 26. 12. 2016 02:39

Ahoj ↑ orisk:,
Riesenie je okamzite, od okamihu, ked si napisal text cvicenia.
Mas dani v texte popis tvojeho zobrazenia. ↑ orisk:
Ide o osovu symetriu priamky p.
Text cvicenia ti da prvy vektor bazy v1, pouzit en v rieseni
Vyber dvoch ostatnych vektorov v2,v3 je tu vybrany vdaka definicii osovej sumernosti. (Ich obrazy su....)
V tejto bazy mas okamzite tvoju hladanu maticu ( pociarchnutu cervenov)

Zvysok je klasicke pouzitie zmeny baz....

Pochopitelne kazdy iny mozny vyber v1,v2,v3. by ti dal iny, ale analogicky postup co by ta doviedol k tomu istemu konecnemu vysledku.

vytautas · 26. 12. 2016 12:22

↑ orisk:

je mi jasné, čo potrebuješ vedieť. Otázka smerovala na teba. Ako je teda definovaná matica $\varphi_{\alpha,\alpha}$ ?(čakám tvoju odpoveď, nie obrázok s riešením) potom môžme pokračovať s riešením.

orisk · 26. 12. 2016 15:14

↑ vanok:
Mám směrový vektor v1 a na něj kolmé vektor v2,v3. Nevím, jak pomocí těch vektorů provést osovou symetrii.

↑ vytautas:
Matice $\varphi_{\alpha,\alpha}$ je definovaná v zadání jako symterie podle přímky p.

vytautas · 26. 12. 2016 23:56

↑ orisk:

ok, teda, treba si asi ujasniť pojmy

zobrazenie $\varphi$ je zrkadlenie podľa priamky $p$ . Matica $\varphi_{\alpha,\alpha}$ je matica prechodu zobazenia od báze $\alpha$ k báze $\alpha$ a je definovaná ako $\varphi_{\alpha,\alpha}=([\varphi(v_1)]_\alpha|[\varphi(v_2)]_\alpha|[\varphi(v_3)]_\alpha)$ , kde $[v]_\alpha$ sú súradnice vektora v báze $\alpha$ .

A teraz si už len stačí nakresliť situáciu, uvedomiť si, čo robí $\varphi$ s vektorom $v_1$ a s vektormi $v_2,v_3$ (teda ako vyzerá $\varphi(v_i)$ pre $i \in \{1,2,3\}$ ).

z toho ti už vyplynie prečo vyzerá matica $\varphi_{\alpha,\alpha}$ tak, ako vyzerá.

vanok · 27. 12. 2016 00:07

↑ vytautas: ,↑ orisk:
Ano, tu ak mas sponmienky z geometrie smerovy vektor v1 sa tvojou symetriou nemeni.
A kolme vektory v2,v3 na v1, sa danou symetriou transformuju na -v2,-v3.

Zvysok je ozaj hracka.... skutocne.

orisk · 27. 12. 2016 00:13

↑ vytautas:

Moc děkuju za snahu, ale příliš tomu, co tu popisuješ nerozumím. Potřeboval bych to vysvětlit polopaticky, jinak na to asi nikdy nepřijdu.

vytautas · 27. 12. 2016 00:26

↑ orisk:

musíš mať nejaké základy lineárnej algebry, bez toho to nejde. Ak ti nie sú jasné pojmy, preštuduj si skriptá. Ak ti nie je jasný niektorý krok, tak sa pýtaj konkrétne na krok.

orisk · 27. 12. 2016 16:19

↑ vanok:

Jestli to dobře chápu, tak vektor v1 zůstává tedy stejný (přímka p), tzn(3,0,-1) a vektory v2 a v3 se symetricky otočí, takže budou mít hodnotu v2=(-1,0,-3) a v3=(0,-1,-1).

Ale pořád nechápu, jak z toho dostanu tu diagonální matici:
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Žádnou operací s maticemi se mi to nepodařilo.

vanok · 27. 12. 2016 16:48

↑ orisk:,
V bazi (v1,v2,v3)
Vector v1=1v1+0v2+0v3 ma suradnice (1,0,0)
Vektor v2= 0v1+1v2+0v3 ....
Staci?
Kontrola.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

orisk · 27. 12. 2016 17:27

↑ vanok:
v1=1*(3,0,-1)+0*(1,0,3)+0*(0,1,0) se přeci nerovná (1,0,0)

vanok · 27. 12. 2016 21:03

No oznacenie nie je dokonale.
V bazy $\alpha$
$v1=( 1,0,0)_{\alpha}$ atd.
No ked je jasne o aku bazu ide piseme jednoducho...=(1,0,0). Co tu bolo jasne povedane ....ale pre opatrnych a vahajucych ludi je to opatrnejsie pisat z tym indexom. ( hovori sa o " abus de language"... a je uzitocne porozmyslat, aj preco taketo nepresnosti mozu byt uzitocne aj na pokrok vedy.... )

orisk · 27. 12. 2016 21:22

↑ vanok:
Čím se tedy vynásobil v1(3,0,-1), že jsme dostali (1,0,0)?

vytautas · 27. 12. 2016 21:33

↑ orisk:

hovorí ti niečo vyjadrenie vektora v báze ?

orisk · 27. 12. 2016 22:26

Ano, ale ne ve spojitosti s tímto, to mám vyjádřit (3,0,-1) = a(3,0,-1)+b(1,0,3)+c(0,1,0) ?

vytautas · 28. 12. 2016 00:21

↑ orisk:

ako som písal vyššie, definícia je takáto

$\varphi_{\alpha,\alpha}=([\varphi(v_1)]_\alpha|[\varphi(v_2)]_\alpha|[\varphi(v_3)]_\alpha)$

Máš zrkadlenie podľa priamky $p$ , ktorá má smerový vektor $v_1$ . A čo robí zrkadlenie podľa priamky s bodmi na priamke ? No, nerobí s nimi nič, ostávajú tam kde sú. Teda $\varphi(v_1)=v_1$ , čo sa ale rovná $v_1=1\cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + 0\cdot v_3$ . Teda $[\varphi(v_1)]_\alpha=[v_1]_\alpha= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
preto je prvý stĺpec taký, aký je.

ďalej keď vieš, že $v_2$ je kolmý na priamku $p$ , tak ako vyzerá obraz $\varphi(v_2)$ .Je to zrkadlenie, teda ho prevedie na $-1$ násobok, teda $\varphi(v_2)=-v_2$ . Teda vyjadrená v báze $\alpha$ je to $v_2=0\cdot v_1+ (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3$ a tak súradnice vzhľadom k $\alpha$ sú $[\varphi(v_2)]_\alpha=[-v_2]_\alpha=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

rovnako pre $v_3$ , až na to, že $-v_3=0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + (-1) \cdot v_3$ a tak súradnice vzhľadom k $\alpha$ sú $[-v_3]_\alpha = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Dôkladne ti doporučujem prejsť si základy lingebry, toto je len prepis definícii, bez tohto sa nepohneš ďalej.