Matematické Fórum

pb1809 · 28. 12. 2016 16:16

Ahoj,
potřeboval bych pomoct s touto limitou:
$\lim_{x\to0}\frac{arctg(x-1)}{x^{2}}$

Vím, že když to upravím takto, tak to vyjde:
$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}*\lim_{x\to0}arctg(x-1)=(-45)*\infty =-\infty$

Ale nejsem si jistý, jestli to lze udělat takto přímočaře.
Není tam potřeba něco přidat, nějaké podmínky nebo tak něco?

Předem děkuji za pomoc.

Rumburak

↑ pb1809:

Ahoj.

Myšlenkově je to správně, i výsledek, ale vlastní výpočet nutno dát do úvozovek.

Za prvé : $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ nebo dejme tomu $45^\circ$ , ale nikoliv jen $45$ .

Další úvaha by mohla vypadat následovně:

$\lim_{x\to0}\arctan (x-1) = -\frac{\pi}{4}$ ,

proto existuje $\delta \in (0, 1)$ takové, že pro libovolné $x \in (-\delta, \delta)$ bude

$\arctan (x-1) < -\frac{\pi}{8}$

a tedy

$\frac{\arctan (x-1)}{x^2} < -\frac{\pi}{8x^2}$ ,

Pravá strana poslední nerovnosti má pro $x \to 0$ limitu $-\infty$ a tutéž hodnotu
pak musí mít - vzhledem ke znaménku nerovnosti - i odpovídající limita levé strany.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2016 16:16

Pomoc s limitou

#2 28. 12. 2016 16:46 — Editoval Rumburak (28. 12. 2016 16:47)

Re: Pomoc s limitou

Zápatí