Matematické Fórum

TrunksAbraham · 28. 12. 2016 20:23

Dobrý den,
dostal jsem za úkol dokázat následující tvrzení:
Nechť f: U -> V je lin. zobrazeni pak jádro f je podprostor U. Na internetu jsem nasel spoustu důkazů, které ověřují, že jádro je podprostor. Nějak ale nemůžu pochopit proč je jádro právě podprostorem U.
Našel jsem nasledující protipříklad:
Báze prostoru U je (1,1,1), matice zobrazení je {{1,0,1},{0,1,1}}. V tomto případě je jádro zobrazení span(1,1,-1) a to rozhodně není podprostor U.
Byl bych rád kdyby jste mi objasnili v čem je mé uvažování špatně.
Děkuji.

Andrejka3

↑ TrunksAbraham:
Ahoj.
Šlo by to zapsat v texu? Tvůj protipříklad: uvažuješ matici
$\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}$
Obrazy dostáváš tak, že násobíš sloupcem zprava?
Pak jádro je podprostor generovaný vektorem $\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}$ . To je jednodimenzionální podprostor U. Proč by nebyl?
edit: oprava

TrunksAbraham · 28. 12. 2016 22:36

Prostor U je generovaný vektorem $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ tedy je to jeho báze. A vektor $\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$ není lineární kombinací vektoru $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ .

vanok · 29. 12. 2016 00:45 — Editoval vanok (29. 12. 2016 07:59)

Ak je priestor U, je ten co pises je nemozne, ze tvoja matica popisuje nejaku maticu z U--> V.

A v tom pripade to moze byt len nulovy podpriestor alebo U cely.

misaH · 29. 12. 2016 07:53

↑ TrunksAbraham:

Poriadne si naštuduj teóriu, človeče.

Andrejka3

↑ TrunksAbraham:
$f\colon U\to V$ znamená, že definičním oborem $f$ je $U$ . Protože $U=\left\langle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\rangle$ a $f$ je lineární, je určeno obrazem prvů baze, tj. stačí znát $f\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ . Označme $(v_1,v_2)$ bazi $V$ . Pak pro jistou dvojici čísel je
$f\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\beta_1v_1+\beta_2v_2$ . Tedy tvé zobrazení má matici vzhledem k uvedeným bazím
$\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\end{pmatrix}$
Odtud je vidět, že jádrem je podprostor prostoru $\left\langle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\rangle=U$ , který je buďto celý tento prostor, nebo nulový podprostor (jak psal vanok).
edit: má-li být toto zobrazení restrikcí na obor $U$ toho zobrazení, které jsi zadal maticí v prvním příspěvku, pak $\beta_1=2=\beta_2$ , takže má matici
$\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$
a jeho jádro je nulový podprostor $U$ .