Matematické Fórum

hcdady · 29. 12. 2016 22:29

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s řešením výpočtu, protože v příkladech kde se vyskytuje eulerovo číslo prostě tápu. V zadání je vymezení plochy 3 hranicemi y1 = $\mathrm{e}^{x}$ -1 ; y2 = $\mathrm{e}^{-x}$ - 1 ; y3 = e - 1.
Můj postup je P = $\int_{-1}^{0}$ (y3-y1) + $\int_{0}^{1}$ (y3 - y2)
Doufám, že uvažuji správně.

Ale pak nevím co se samostatnou integrací, protože výsledek by měl být 2, ale k tomu se nemůžu dostat. Vždycky mě tam zůstane nějaký to e.

Za jakýkoliv nakopnutí předem děkuji David

Pritt · 29. 12. 2016 22:39 — Editoval Pritt (29. 12. 2016 22:39)

↑ hcdady:

Ahoj, první integrál bude $\int_{-1}^{0}(y_3(x) - y_2(x)) dx$ a pokud si nakreslíš tuto situaci, zjistíš, že druhá plocha má stejný obsah jako první, tedy výsledná plocha je $2\cdot \int_{-1}^{0}e-1-(e^{-x}-1)dx$

hcdady · 29. 12. 2016 23:02

Děkuji za reakci k tomuto jsem se tak nějak dostal také, ale právě nevím jak to z integrovat abych dostal výsledek 2, protože když dosadím -1 tak se to vynuluje, když dosadím 0 tak tam zůstane e. A substituce asi v tomhle případě nebude vhodné řešení. Omlouvám se určitě to bude banalita, ale já na tím si lámu hlavu cely den. Navíc sem se vrátil na školu po 20 letech a tohle mi celkem zatápí.

Pritt · 29. 12. 2016 23:19 — Editoval Pritt (29. 12. 2016 23:22)

↑ hcdady:

Nejspíš se po 20letech zapomnělo na to, že

$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$

:)

$2\cdot \int_{-1}^{0}e-1-(e^{-x}-1)dx = 2\cdot \int_{-1}^{0}e-e^{-x}dx = 2 \cdot \[ ex + e^{-x}\]_{-1}^0 = 2 \cdot (e\cdot 0+ e^0 -(-e+e^{-(-1)})) = 2$

hcdady · 30. 12. 2016 08:59

↑ Pritt:

Děkuji mnohokrát za odpověď, jen prosím ještě jedno upřesnění, nemůžu přijít na to podle jakýho pravidla se stalo z $e - \mathrm{e}^{-x} dx$ tohle $[ex + \mathrm{e}^{-x}]_{-1 }^{0}$

Já se moc omlouvám, ale kdysi jsme se integrály ani neučily a teď se u toho vcelku potím.

Elisa · 30. 12. 2016 09:22 — Editoval Elisa (30. 12. 2016 09:23)

↑ hcdady:
$\int_{}^{}e - \mathrm{e}^{-x} dx$ = $ex + \mathrm{e}^{-x}$
e je konstanta, která se zderivuje podle x

misaH · 30. 12. 2016 09:42

$e\int_{}^{}dx - \int_{}\mathrm{e}^{-x} dx$

hcdady · 30. 12. 2016 10:07

↑ Elisa:

Děkuji za vysvětlení, tak tohle by mě asi nenapadlo. A jen pro informaci integrál třeba $\int_{}^{} \mathrm{e}^{x-1} - \mathrm{e}^{-1} dx$ by vypadal $x - \frac{x}{e}$ nebo jsem úplně vedle

Pritt · 30. 12. 2016 10:17

↑ hcdady:

$\int \mathrm{e}^{x-1} - \mathrm{e}^{-1} dx = e^{x-1} - \frac{x}{e}$ .

Protože když zderivujeme $e^{x-1}$ dostaneme taky $e^{x-1}$ .

Pokud by to mělo být přesně, tak se zavede substituce $t = x-1 \Rightarrow dt = dx$ , tedy

dostaneme $\int e^t dt = e^t = e^{x-1}$ . Protože víme, že $\int e^x dx = e^x + C$

misaH · 30. 12. 2016 10:18 — Editoval misaH (30. 12. 2016 10:25)

↑ hcdady:

No - zderivuj výsledok a uvidíš.

(Je to zle.)

$e$ je konštanta (číslo), základ prirodzených logaritmov

$e^x$ je závislé od hodnoty x a teda to nie je konštanta, mení sa podľa hodnoty premennej x

Plus treba dobre zátvorkovať, malo zrejme byť

$\int( \mathrm{e}^{x-1} - \mathrm{e}^{-1} )dx = e^{x-1} - \frac{x}{e}$

hcdady · 30. 12. 2016 15:41

Pořád mi to nějak nevychází, když vezmu výpočet obsahu určený hranicemi $y_{1} = \mathrm{e}^{x-1}; y_{2} = \frac{1}{e}; y_{3} = \mathrm{e}^{-x+1}$ kde by měl být použit výše zmíněný integrál a výsledek by měl být $P = 2 - \frac{4}{e}$ jedná se také o dvě stejné plochy, ale k tomu výsledku se ne a ne a ne dohrabat. No vidím to, že se budu u zkoušky modlit aby se tam nevyskytovala konstanta e.

misaH · 30. 12. 2016 15:45

↑ hcdady:

Ale veď Prítt ti to komplet vypočítal....

Poriadne si pozri jeho posty.

Al1 · 30. 12. 2016 15:50

↑ misaH:

Zdravím,

to je jiný příklad. Porovnej #1 a #11 :-)

↑ hcdady:

Zdravím,

základem je celou oblast si zakreslit.

misaH · 30. 12. 2016 15:54

↑ Al1:

Aha :-D

hcdady · 30. 12. 2016 15:59

↑ Al1:

Nakreslený to mám i vyšrafovaný :-) a vyšel mě integrál $2* \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x-1} - \mathrm{e}^{-1} dx$ ale z toho tížený výsledek $P = 2 + \frac{4}{e}$ nějak nemůžu dostat

Al1 · 30. 12. 2016 16:05 — Editoval Al1 (30. 12. 2016 16:06)

↑ hcdady:

Tak to máš dobře.
Integrál $\int_{}^{}\mathrm{e}^{x-1}\ dx$ řeš substitucí, a $\int_{}^{}\mathrm{e}^{-1}\ dx$ bylo vysvětleno v příspěvku #10

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A celkový výsledek je $2-\frac{4}{\mathrm{e}^{}}$

hcdady · 30. 12. 2016 17:03

Aha tak už jsem taky dospěl k výsledku. Děkuji moc všem za pomoc a hlavně rada dobře závorkovat se móóc hodila :-)

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2016 22:29

Velikost rovinného obrazce

#2 29. 12. 2016 22:39 — Editoval Pritt (29. 12. 2016 22:39)

Re: Velikost rovinného obrazce

#3 29. 12. 2016 23:02

Re: Velikost rovinného obrazce

#4 29. 12. 2016 23:19 — Editoval Pritt (29. 12. 2016 23:22)

Re: Velikost rovinného obrazce

#5 30. 12. 2016 08:59

Re: Velikost rovinného obrazce

#6 30. 12. 2016 09:22 — Editoval Elisa (30. 12. 2016 09:23)

Re: Velikost rovinného obrazce

#7 30. 12. 2016 09:42

Re: Velikost rovinného obrazce

#8 30. 12. 2016 10:07

Re: Velikost rovinného obrazce

#9 30. 12. 2016 10:17

Re: Velikost rovinného obrazce

#10 30. 12. 2016 10:18 — Editoval misaH (30. 12. 2016 10:25)

Re: Velikost rovinného obrazce

#11 30. 12. 2016 15:41

Re: Velikost rovinného obrazce

#12 30. 12. 2016 15:45

Re: Velikost rovinného obrazce

#13 30. 12. 2016 15:50

Re: Velikost rovinného obrazce

#14 30. 12. 2016 15:54

Re: Velikost rovinného obrazce

#15 30. 12. 2016 15:59

Re: Velikost rovinného obrazce

#16 30. 12. 2016 16:05 — Editoval Al1 (30. 12. 2016 16:06)

Re: Velikost rovinného obrazce

#17 30. 12. 2016 17:03

Re: Velikost rovinného obrazce

Zápatí