Matematické Fórum

pb1809 · 30. 12. 2016 17:22

Ahoj,
potřeboval bych zjistit, zda je tato řada konvergentní:
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}*(\sqrt{k^{2}+2}-k)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\sqrt{k^{2}+2}}{k}-1$

Pravděpodobně to nepůjde přes D`Alembertovo kritérium.
Snažil jsem se na to jít přes srovnávací kritérium, ale moc nevím, jak na to.

Předem děkuji za pomoc.

Stýv · 30. 12. 2016 18:13

tu závorku uprav pomocí vzorečku pro rozdíl odmocnin (http://wiki.matematika.cz/index.php/U%C … orce#u2-1a)

pb1809 · 30. 12. 2016 18:49 — Editoval pb1809 (30. 12. 2016 19:43)

↑ Stýv:
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}+2}+k)}$
Tudíž jsem zkoušel srovnávací kritérium:
$\frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}+2}+k)}\le \frac{2}{k*(\sqrt{k^{2}}+k)}=\frac{1}{k^{2}}$

Je tento postup srovnávání správný?:
$lim\frac{\frac{2}{k*\sqrt{k^{2}+2}}}{\frac{1}{k^{2}}}=lim\frac{2k^{2}}{k^{2}*(\sqrt{1+\frac{2}{k^{2}}}+1)}=\frac{2}{2}=1\in R$
Protože výsledek náleží do R čísel, znamená to, že celá posloupnost je konvergentní?

Je tento postup správný?