Matematické Fórum

Exille · 01. 01. 2017 21:30

Zdravím, potřeboval bych poradit ohledně matice zobrazení z alfa do alfa. Nevím jak ze zadání příjdu na to, jak přesně vypadá.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-01/02365_Screenshot_1.png

Vím, jaký je postup u zbytku příkladu, ale nevidím, jak vytvořit tuto matici.

vanok · 02. 01. 2017 08:06 — Editoval vanok (02. 01. 2017 10:02)

Anoj ↑ Exille:,
Tvoja matica v tvojom texte je matica tvojej projekcie ak baza $\alpha$ je vybrana napr. tak, ze je je vytvorena normalnym unitarnym vektorom $\vec n$ na danu rovinu a dvomi ortonornalnymi vektormy v danej rovine .
( co je inspirovane definiciou danej projekcie)

No vsak najrychlejsie ( zda sa mi) je postupovat napriklad takto.

Sme v $\Bbb R ^3$ , a oznacme danu rovinu $F=\{( x_1,x_2,x_3)|2x_1-x_2+2x_3=0\}$
Ortogonal roviny $F$ je priamka $P=F^\perp =<\{(2,-1,2)\}>$ , ktorej ortonormalna baza je $( \vec n\ )$ , kde $\vec n=\frac 13(2,-1,2)$ .
Preto $p_P$ ortogonalna projekcia na priamku $P$ je taka, ze pre kazdy vektor
$\vec v= (x_1,x_2,x_3) \in \Bbb R ^3 ; p_P( \vec v)= < \vec n| \vec v>\vec n=\frac {2x_1-x_2+2x_3}9$
( pochopitelne, znacim ako je zvykom, takto $<.|.>$ scalarny sucin)
Akoze, $\varphi= Id_{\Bbb R ^3} - p_P$
Tak teraz ti necham radost ukoncit dane cvicenie.(3 riadky stacia!)

( pripominam, ze na konci 60 tich rokov minuleho storocia, = doba tzv. "Modernej matematiky", sa taketo cvicenia robili v skoro celej Europe na konci strednej skoly ... no teraz iste az v prvom rocniku VS)

Pochopitelne, je mozne riesit cvicenie aj inac, ako napr vdaka pociatocnej poznamke.

A aby som nezabudol, vsetko najlepsie do noveho roku.

vanok · 02. 01. 2017 12:58

Pre tych co to zaujima, pridam postup aj na tu druhu metodu o ktorej som vyssie pisal.
Preto najdeme jednu orthogonalnu bazu priestoru $F$
Na to veznime najprv jednu jeho lubovolnu bazu lubovolnu , napr. $(\vec c_1, \vec c_2)$ , kde $\vec c_1=(1,2,0); \vec c_2=(0,1,2)$ a orthogonalizujme ju na $( \vec b_1,\vec b_2 )$ , kde $\vec b_1=\frac 1 {||\vec c_1||}\vec c_1$ a $\vec b_2 =\frac 1{||\vec d_2||}\vec d_2$ kde $\vec d_2=\vec c_2-<\vec b_1|\vec c_2>\vec b_1$ .
Potom pre kazdy vector $\vec v \in \Bbb R ^3 ; \varphi(\vec v)=<\vec b_1|\vec v>\vec b_1+<\vec b_2|\vec v>\vec b_2$

Necham vas urobit vypocty, a overit, ze vam to da pochopitelne ten isty vysledok predosla metoda.

Eratosthenes

Ahoj ↑ Exille:,

já přidám ještě třetí možnost:

Hledanou matici označme M. Kolmá projekce do roviny je projekce ve směru jejího normálového vektoru, v našem případě ve směru n = (2;-1;2). Tento vektor se promítne na vektor nulový, tj. platí

o = M.n (1)

Dále najdeme dva libovolné lineárně nezávislé směrové vektory r, s dané roviny - ty jsou kolmé na n, takže je najdeme z podmínek <r;n>=<s;n>=0. Tyto vektory se zobrazí samy na sebe, tj.

r = M.r (2)

s = M.s (3)

Z rovnic (1) (2) (3) obdržíme maticovou rovnici

(o r s) = M . (n r s)

a hledaná matice je M =(o r s).(n r s)^(-1)

PS: Pro přehlednost jsem vynechal značky transpozic - o, r, s, n jsou tedy sloupce a (o r s), (n r s) čtvercové matice sestavené z těchto sloupců.

vanok · 02. 01. 2017 21:46

Pozdravujem ↑ Eratosthenes:,
Ano dal si nam tu peknu intuitivnu metodu.
Mozes upresnit matice prechodu do stardantnej baze?

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2017 21:30

Matice zobrazení

#2 02. 01. 2017 08:06 — Editoval vanok (02. 01. 2017 10:02)

Re: Matice zobrazení

#3 02. 01. 2017 12:58

Re: Matice zobrazení

#4 02. 01. 2017 19:14 — Editoval Eratosthenes (02. 01. 2017 19:15)

Re: Matice zobrazení

#5 02. 01. 2017 21:46

Re: Matice zobrazení

Zápatí