Matematické Fórum

Fonzik · 10. 01. 2017 18:04

Ahoj, mám příklad:
Dokažte, že V = množina polynomů stupně nejvýše 5, kde platí, že f(x)=f(-x), je vektorový podprostor $\mathbb{R}_{5}[x]$ .

1, $0 \in V$ je jasné.

2, Zjištujeme, zda $f(x) + g(x) \in V$ - vezmu dva polynomy, které v prostoru určitě leží a zkoumám, jestli tam leží i jejich součet. Když se na to teď dívám, tak v sešitě jsme si zapsali obecně dva polynomy stupně 5 ( $a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}...a_{0}$
$b_{5}x^{5}+b_{4}x^{4}...b_{0}$ ) a po jejich sečtení, jsme usoudili, že součet ve V leží, i když tam jsou liché mocniny 5,3 a 1, u kterých by podmínka f(x)=f(-x) platit neměla. Neměli by jsme pro součet používat pouze polynomy stupně obsahující stupeň 4 a 2 ? Tj. např $a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}$ (kvůli splnění podmínky, že sčítáme dva polynomy, které do V určitě patří, a jelikož f(x)=f(-x), aby do V patřily, pak právě nemůžeme uvažovat polynomy $a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}...a_{0}$ ?

Podobně u třetí podmínky. V základu jen nevím, proč jsme na cvičení podmínky dokazovali s "celými" polynomy stupně 5, když nesplňují podmínku f(x)=f(-x) a tedy už samotné polynomy, které jsme pro dokazování používali do V nepatří. Nebo je to špatně a něco mi uniká?

vlado_bb · 10. 01. 2017 19:10

↑ Fonzik: Ak $p(x)=p(-x), q(x)=q(-x)$ , tak ocividne $p(x)+q(x)=p(-x)+q(-x)$ a hotovo. Ze polynomy $p,q$ musia mat isty specialny tvar, je sice pravda, ale v tejto suvislosti ... co tam po tom :)

Fonzik · 10. 01. 2017 21:45

↑ vlado_bb:
No nevím, jestli by mi to u zkoušky tahle prošlo :D

Když je tedy pravda, že musí mít tento speciální tvar, tak můžu říct, že generující množina tohoto vektorového podprostoru je $\{x^{4},x^{2},1\}$ ?

vlado_bb

↑ Fonzik: K tomu, ci by ti to preslo na skuske ... nemozem samozrejme hovorit za tvojho skusajuceho, ale nakolko sam sem tam aj skusam, poviem svoj nazor. Ak je odpoved spravna a dobre zdovodnena, nevidim dovod, preco by som ju neuznal. Takze podla mna ano, preslo. Navyse, osobne (a predpokladam, ze nie som sam) davam prednost co najjednoduchsim rieseniam. To, ktore som uviedol, je podla mna zrejme take, pretoze nevyuziva nic ine iba text ulohy a prislusnu vlastnost vektoroveho podpriestoru.

Su studenti, ktori pri konkretnej otazke, ako je tato, maju tendenciu povedat absolutne vsetko, co o danych objektoch vedia, v nadeji, ze medzi tym bude aj to, co chce skusajuci pocut. Tento pristup je ale kontraproduktiny, lebo vzbudzuje dojem (casto opravneny) ze student v skutocnosti nerozumie, co sa od neho ocakava. Tvoja poznamka o generujucej mnozine je presne tohoto druhu. Pytal sa niekto na generujucu mnozinu? Nie. Je tento pojem potrebny na riesenie ulohy? Nie. Tak preco ju spominas?

Fonzik · 11. 01. 2017 11:43

↑ vlado_bb:
Chápu, co máš na mysli. Já jsem se na tu generující množinu ptal právě proto, abych si potvrdil, že tomu rozumím. Chtěl jsem si sám pro sebe potvrdit, jak ten vektorový prostor ve skutečnosti vypadá, proto ta otázka na generující množinu.

Fonzik · 11. 01. 2017 12:07

↑ vlado_bb:
Ještě bych si rád ujasnil tvůj postup. $p(x)=p(-x), q(x)=q(-x)$ nám udává dva polynomy, které patří do vektorového prostoru. Pro jejich sečtení očividně platí $p(x)+q(x)=p(-x)+q(-x)$ ale jak z toho usoudím, že tento součet do V patří taky? My jsme na cvičení opravdu vždy sčítali konkrétní prvky (zapsané obecně, jak už jsem psal v prvním příspěvku), tak proto mi asi dělá problém tento postup. Těm definicím a podmínkám, které musí být splněny rozumím.

vlado_bb

↑ Fonzik: $(p+q)(x)=p(x)+q(x)$ a teda $(p+q)(-x)=p(-x)+q(-x)=p(x)+q(x)=(p+q)(x)$ .

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2017 18:04

Vektorový podprostor

#2 10. 01. 2017 19:10

Re: Vektorový podprostor

#3 10. 01. 2017 21:45

Re: Vektorový podprostor

#4 11. 01. 2017 07:30 — Editoval vlado_bb (11. 01. 2017 07:31)

Re: Vektorový podprostor

#5 11. 01. 2017 11:43

Re: Vektorový podprostor

#6 11. 01. 2017 12:07

Re: Vektorový podprostor

#7 11. 01. 2017 12:17 — Editoval vlado_bb (11. 01. 2017 14:41)

Re: Vektorový podprostor

Zápatí