Matematické Fórum

Pritt · 09. 01. 2017 22:36 — Editoval Pritt (09. 01. 2017 23:32)

Zdravím,

mám kvadriku $x_1^{2} + 2x_1 x_2 + x_2^{2} -4x_1-8x_2 + 10 = 0$ .

Její normální tvar je $z_1^2 - 2z_2 = 0$ .

Transformační vztah je
$\begin{pmatrix} x_1 \\ \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ \\0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ \\ z_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

Ohnisko této paraboly v normálním tvaru by mělo být v bodě $[0, \frac{1}{2}]$ .

Mám problém s tím, jak nakreslit parabolu v původním tvaru. Myslel jsem si, že pokud například budu chtít zjistit vrchol původní paraboly, dosadím pouze souřadnice vrcholu v normálním tvaru $V = [0, 0]$ do transformačních vztahů a dostanu původní vrchol. To ovšem nekoresponduje s obrázkem v učebnici.

Otázka tedy zní: Jak zjistit pravý tvar této paraboly?

Díky za pomoc.

vanok · 11. 01. 2017 08:52

Ahoj ↑ Pritt:,
Je viacej method.
Mozes nast transfomaciu, ktora ta zbavi clenu z x1x2 ---> otocenie
Potom taku co ta zbavi linearnych clenov---> posunutie.

Pritt · 11. 01. 2017 09:05

↑ vanok:

Potom transformace, kterou jsem uvedl, by měla zahrnovat obojí, není to tak?

Pritt · 11. 01. 2017 09:26 — Editoval Pritt (11. 01. 2017 09:27)

První transformace,

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$

převádí kvadriku na tvar

$(y_1 - 2)^2 -2(2y_2-3) = 0$

A pro odstranění (v tomto případě absolutního členu) další transformace $\begin{pmatrix} x_1 \\ \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ \\0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ \\ z_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

převede kvadriku na normální tvar.

Nevím jak docílit takového grafu.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pokud bych například chtěl transformovat vrchol $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

potom dostávám, že $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

tedy bych očekával, že zde bude vrchol paraboly.

Brano · 11. 01. 2017 12:06 — Editoval Brano (12. 01. 2017 01:07)

Transformacie kvadrik si si vypocital spravne, problem je v tom, ze suradnice oniska sa netransformuju linearne - to sa da nahlaidnut z takehoto jednoducheho prikladu:

Ohnisko paraboly $y=\frac{x^2}{4}$ je v bode $A=(0,1)$ . Ked teraz urobis transformaciu $x=2x',\ y=y'$ tak dostanes parabolu $y'=x'^2$ ktora ma ohnisko v bode $$0,\frac{1}{4}$$ pricom bod $A$ sa transformuje na $A'=(0,1)$ , cize nie na ohnisko.

PS: vrchol sa pri linearnej transformacii transformuje na vrchol. [EDIT: to nie je pravda, vid dalej]

vanok · 11. 01. 2017 13:09

Ahoj ↑ Pritt:,
Ja som ti chcel, len prizvukovat, ze ak rozdelis transformaciu na dve casti, mozes lepsie kontrolovat co sa deje, s bodmy, ktorych premiestnenie chces sledovat.

Pritt · 11. 01. 2017 22:32

↑ Brano:↑ vanok:

Dobrá, tak jsem tedy postupoval postupně. Pokud se vrchol lineární transformací transformuje na vrchol, potom tedy pokud jsem u otočené paraboly $(y_1 - 2)^2 -2(2y_2-3) = 0$ našel vrchol $V_y = [2, 3/2]$ , potom pokud bych chtěl zjistit opravdový vrchol, tak využitím tohoto vztahu: $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$

Tedy

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \end{pmatrix}$

Což by teda odpovídalo. Špatně jsem si vykládal pojem "vrchol paraboly". Myslel jsem, že vrchol je bod, který leží na pomyslné "ose souměrnosti" paraboly. Průsečíky s osami jsou samozřejmostí, ale to mi ale pořád k určení tvaru paraboly nestačí. Pořád bych potřeboval zjistit ohnisko, nebo kterým bodem prochází ona osa souměrnosti. Ale jak na to?

Brano · 12. 01. 2017 00:45 — Editoval Brano (12. 01. 2017 01:48)

vrchol lezi na osi sumernosi - dalsi problem vsak je ze transformacia co si napisal nezacahovava uhly - t.j. obsahuje skosenie. Teda transformuje bod paraboly na bod paraboly, ale nie nutne vrchol na vrchol.
[teda moja predchadzajuca poznamka v PS bola nespravna]
Keby si nasiel taku, co obsahuje iba rotacie, translacie, skalovanie (v oboch suradniciach rovnake - ten moj priklad nebol taky) a zrkadlenie, tak ti bude zachovavat aj vrchol a os sumernosti.
Stlpce matice by mali byt na seba kolme a mat rovnaku dlzku; teda jedna z nasledovnych
$\begin{pmatrix}a & -b\\ b & a\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$

ja by som skusil takto - zmiesany clen vybavis prvym doplnenim na uplny stvorec, t.j. substituciou $y_1=x_1+x_2$ tak druhu zvol $y_2=x_1-x_2$ a potom linearny clen s $y_1$ vybavis vhodnym posunutim $y_1$ a konstantny clen posunutim $y_2$ .

vanok · 12. 01. 2017 02:23

Alebo inac napisane, urobit najprv otocenie take,(pociatok konservovany) aby zmyzol clen $X_1X_2$
$x_1=(\cos {\theta}) X_1-(\sin {\theta}) X_2\\x_2=(\sin {\theta})X_1+(\cos{\theta })X_2$

V druhej etape sa zbavis linearnych clenov.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2017 22:36 — Editoval Pritt (09. 01. 2017 23:32)

Kvadriky

#2 11. 01. 2017 08:52

Re: Kvadriky

#3 11. 01. 2017 09:05

Re: Kvadriky

#4 11. 01. 2017 09:26 — Editoval Pritt (11. 01. 2017 09:27)

Re: Kvadriky

#5 11. 01. 2017 12:06 — Editoval Brano (12. 01. 2017 01:07)

Re: Kvadriky

#6 11. 01. 2017 13:09

Re: Kvadriky

#7 11. 01. 2017 22:32

Re: Kvadriky

#8 12. 01. 2017 00:45 — Editoval Brano (12. 01. 2017 01:48)

Re: Kvadriky

#9 12. 01. 2017 02:23

Re: Kvadriky

Zápatí