Matematické Fórum

povalec

Potřeboval bych poradit s jednou soustavou rovnic, zkouseli jsem to pocitat a furt me to nejak nevychazi... mimo to, je pak jeste ukolem zjistit hodnost matice a hodnost rozsirene matice, coz uz neni problem

$- x_1 + 2x_2 - x_3 = -11$
$x_1 + 3x_2 + 2x_3 = -8$
$3x_1 - 2x_2 + x_3 = 15$
$4x_1 - x_2 - 2x_3 = 10$

... zajimal by me hlavne postup, protoze proste nevim co mam delat, kdyz mam 4 rovnice, ale jen 3 promenny ... sem si rikal, ze budu pocitat jen se 3 rovnicema a pak do 4. pro kontrolu dosadim, ale to prej neni spravne
btw pocital sem to pres matice

xxsawer · 07. 05. 2009 06:25

↑ povalec:
Ty jo kucí matematický forum :) Sem něco hledal a narazil sem na tuhle stránku, dobrý... :)

No k věci...to máš normálně soustavu rovnic jako na střední a když tam máš 4 rovnice a 3 neznámý tak jedna rovnice je proste lin. kombinace ostatních
Výsledky sou x1 = 2, x2 = -4, x3 = 1
Gausovou eliminací sem to udělal za 7 kroků. Chce to dávat pozor, jedna chybka někde a výsledek je v čudu...

Rumburak

Má-li mít soustava lin. rovnic řešení, NESMÍ být hodnost rozšířené matice větší než hodnost matice "nerozšířené"
tj, hodnosti obou těchto matic musí být stejné.
Případ, kdy se obě hodnosti liší, znamená, že rovnice si odporují - například u soustavy
x + y = 6,
2x + 2y = -3.
Hodnost matice soustavy (nerozšířené) je zde rovna 1, hodnost rozšířené je rovna 2.

Výše uvedená (tzv. Frobeniova) podmínka platí bez ohledu na počet rovnic a neznámých.

Podíváme-li se na problém přes lin. kombinace rovnic, pak FP říká, že nastane-li situace,
kdy lin. kombinace levých stran rovnic R1 , .., Rn je nulová, pak tatáž lineárně kombinace
pravých stran těchto rovnic rovněž musí být nulová.

V našem přkladě je (-2)*(x + y) + 1*(2x + 2y) = 0, ale (-2)*6 + 1*(-3) <> 0 ,
takže i z toho je vidět, ža ona soustava nesplňuje FP .

Rumburak

JEŠTĚ DODÁM: Máme-li více neznámých, než je rovnic, je třeba uvědomit si toto:

Nechť je dána soustava S čítající m lin. rovnic o n neznámých, kde m > n. Předpokládejme dále,
že alespoň jedna z těchto rovnic je řešitalná, tj. že není tvaru

0*x_1 + 0*x_2 + ... + 0*x_2 = b ,

kde b <> 0. Potom existuje přirozené číslo k (1 <= k <= n) a soustava T čítající k rovnic vybraných ze soustavy S
tak, že soustava T má řešení, zatímco každá ze zbývajících m - k rovnic je buďto lineární kombinací rovnic soustavy T
(tj. i s pravými stranami), nebo je ve sporu se soustavou T. EDIT: Je-li navíc tato soustava T lineárně nezávislá,
potom a pouze tehdy je číslo k rovno hodnosti matice soustavy T (a zároveň i hodnosti rozšířené matice soustavy T,
neboť soustava T má řešení).

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2009 03:11 — Editoval povalec (07. 05. 2009 03:24)

Soustava rovnic o 3 neznamych a 4 rovnicich

#2 07. 05. 2009 06:25

Re: Soustava rovnic o 3 neznamych a 4 rovnicich

#3 07. 05. 2009 12:06 — Editoval Rumburak (07. 05. 2009 12:37)

Re: Soustava rovnic o 3 neznamych a 4 rovnicich

#4 07. 05. 2009 15:09 — Editoval Rumburak (07. 05. 2009 15:55)

Re: Soustava rovnic o 3 neznamych a 4 rovnicich

Zápatí