Matematické Fórum

Bender · 07. 05. 2009 17:54

Zdravím nevím si rady s timto příkladem nemohl by se na tento příklad podívat a dát sem i postup?
diky

Je dán kruh o poloměru s. Z kruhové výseče o středovém úhlu velikosti \alpha je svinut kuželový filtr. Rozhodněte, jak je třeba zvolit , aby tento filtr měl maximální objem.

ttopi · 07. 05. 2009 18:16 — Editoval ttopi (07. 05. 2009 18:27)

Z tý kruhový výseše ti bude, v závislosti na úhlu $\alpha$ vylézat délka oblouku výseče, což je vlastně obvod podstavy kužele, který z té výseče bude smotán.

délku oblouku kruhové výseče vypočteme podle vzorce $l=2\pi s\frac{\alpha}{360}$ tedy jako obvod celého kruhu násobený poměrem úhlu alfa ku plnému úhlu. To se dá samozřejmě zkrátit na $l=\frac{\pi s\alpha}{180}$

toto $l$ je pak obvodem podstavy kužele, čehož využijem k vyjádření poloměru podstavy kužele, protože $2\pi r=\frac{\pi s\alpha}{180}$ a tedy $r=\frac{s\alpha}{360}$

Tento vyjádřený poloměr pak dosadíme do vzorce pro objem kužele.
$V=\frac13 \pi r^2v$ .

Nyní musíme spočíst výšku kužele. To je snadné, známe-li s a r, podle Pythagora bude $v=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{s^2-\Big(\frac{s\alpha}{360}\Big)^2}$

a celý objem kužele pak bude mít vzorec:
$V=\frac13 \pi \Big(\frac{s\alpha}{360}\Big)^2\sqrt{s^2-\Big(\frac{s\alpha}{360}\Big)^2}$

Nenapsal jsi úplně, co se má volit, ale pokud úhel alfa, tak tento objem zderivuješ podle alfa a derivaci položíš rovnu 0, z toho zjistíš, pro jaké alfa má funkce objemu kužele maximum :-)

EDIT: Prosím někoho, aby mou úvahu a postup zkontroloval.

jelena · 07. 05. 2009 18:30 — Editoval jelena (07. 05. 2009 18:43)

↑ ttopi:

Zdravím, kolego, když jsem te viděla online, tak jsem tušila, kdo se toho ujme.

Tato úloha má obrovskou historickou hodnotu dnes je tomu 2 roky, co se objevila na foru poprve, neměli jsme zadné moznosti - ani obrazky, ani TeX.

Kolega Kondr byl zaregistrován pouze 2. den.

Ale pronesl historickou větu: Ten parser TeXu by to chtelo vazne nejakej interni :)

Moc se omluvám za OT, nenech se rušit ve výkladu, привет.

Editace: historický soubor jsem našla (jak jinak) - a vzorec pro objem máme stejně :-)

Chrpa · 07. 05. 2009 22:58

↑ Bender:
Už se to tady řešilo a úhel vyšel 66 stupňů.

jelena · 07. 05. 2009 23:53

↑ Chrpa:

Zdravím, kolego Chrpo, musím trochu opravit:

středový úhel kruhové výseče alfa je 294 stupnů - kontrolováno v mém historickém souboru a v historickém postupu kolegy Kondra.

Z 66 stupňů bychom toho moc nenatočili - to je úhel, který zbývý do 360, když výseč má úhel 294.

Souhlasíš?

Bender · 08. 05. 2009 07:12

Dekuji zatim vsem za pomoc a po prvni derivaci mi vyslo $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\frac{(\alpha%20s^2)*(s^2\alpha^2%20-%208\pi^2%2B\pi^2\alpha)}{24\pi^3}$ . Je to spravne ?

jelena · 08. 05. 2009 13:11

Upravim to takto:

$V=\frac{\pi s^3}{3\cdot360^3}\sqrt{360^2\alpha^4-\alpha^6}$

$V=\frac{\pi s^3}{3\cdot360^3}$ je konstanta, derivuji pouze tuto cast jako:

$V=(360^2\alpha^4-\alpha^6)^{\frac12}$

Výsledek derivace je takový strašný:

$V^{\prime}=\frac{\pi s^3\alpha^3(4\cdot 360^2-6\alpha^2)}{6\cdot360^3\sqrt{360^2\alpha^4-\alpha^6}$ ,

ale nás z toho celého zajimá, že pro vyšetření max tento činitel má být nulový:

$(4\cdot 360^2-6\alpha^2)=0$

OK?

Bender · 08. 05. 2009 13:28

Chapu to uz vsecko jen nevim jak jsi dosel k tehle uprave $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}V=\frac{\pi%20s^3}{3\cdot360^3}\sqrt{360^2\alpha^4-\alpha^6}$ ?

jelena · 08. 05. 2009 13:53

↑ Bender:

Došla jsem takto:

výsledek V od ↑ ttopi:

$V=\frac13 \pi \Big(\frac{s\alpha}{360}\Big)^2\sqrt{\frac{360^2s^2-s^2\alpha^2}{360^2}}$

$V=\frac13 \pi \Big(\frac{s\alpha}{360}\Big)^2\sqrt{\frac{s^2(360^2-\alpha^2)}{360^2}}$

s, 360 jsem z odmocniny vytahla ven, naopak $\alpha^2$ jsem poslala pod odmocninu jako $\alpha^4$

Urcite by sla i nejaka vice elegantni uprava, ale muj cil byl:

a) vytahnout co nejvic konstant z odmocniny a proměnnou seskupit na jedno místo, aby se dobře derivovalo,

b) maximální využit úprav od kolegy, abych mohla použit pouze copy - paste.

OK?

Teď abych opět šla umyvat okna.

Bender · 08. 05. 2009 17:17

Už tomu rozumím a děkuji všem za pomoc moc jste mi pomohly . :-)

Chrpa · 09. 05. 2009 09:22 — Editoval Chrpa (25. 05. 2010 20:44)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Já to pochopitelně myslel tak, že z toho kruhu vyřízneme
část se středovým úhlem 66 stupňů a ze zbytku to stočíme.

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2009 17:54

slovni uloha

#2 07. 05. 2009 18:16 — Editoval ttopi (07. 05. 2009 18:27)

Re: slovni uloha

#3 07. 05. 2009 18:30 — Editoval jelena (07. 05. 2009 18:43)

Re: slovni uloha

#4 07. 05. 2009 22:58

Re: slovni uloha

#5 07. 05. 2009 23:53

Re: slovni uloha

#6 08. 05. 2009 07:12

Re: slovni uloha

#7 08. 05. 2009 13:11

Re: slovni uloha

#8 08. 05. 2009 13:28

Re: slovni uloha

#9 08. 05. 2009 13:53

Re: slovni uloha

#10 08. 05. 2009 17:17

Re: slovni uloha

#11 09. 05. 2009 09:22 — Editoval Chrpa (25. 05. 2010 20:44)

Re: slovni uloha

Zápatí