Matematické Fórum

Dopikasan

Ahoj, mám problém s integrálem

$\int_{0}^{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{(3x+2y)^2} dxdy$

po integraci jsem se dostal do tvaru
$\int_{0}^{2}\frac{1}{3}[\frac{-1}{3x+2y}]^{2_{}}_{1}dy$

$\int_{0}^{2}\frac{1}{3}(\frac{-1}{6+2y}+\frac{1}{3+2y})$

a tohle nedokážu upravit...
prosím o rady :)

Edit: poslední tvar integrálu

Al1 · 14. 01. 2017 20:06

↑ Dopikasan:

Zdravím,

stačí převést na společného jmenovatele

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Dopikasan · 14. 01. 2017 20:34

↑ Al1:
ajo vlastně, díky moc :)

jelena · 15. 01. 2017 09:47

Zdravím,

↑ Dopikasan:, ↑ Al1: jen ještě, prosím, upřesněte, proč byla potřeba taková úprava, když integrování nebylo dokončeno? Aby následně šlo rozložit na parciální zlomky? :-) Děkuji.

Dopikasan · 15. 01. 2017 09:51

↑ jelena:
abych dopočítal příklad?
nebo je jiná cesta jak integrovat dál?

jelena · 15. 01. 2017 09:59

↑ Dopikasan:

já vidím k integrování $\frac{1}{3}\int_{0}^{2}$\frac{-1}{6+2y}+\frac{1}{3+2y}$\d y$ integrál součtu přepsat na součet integrálů a použit drobné substituce $6+2y=t$ , obdobně pro druhý zlomek, což povede k tabulkovým integrálům (viz v tabulce $\int \frac{1}{x}\d x$ ]
Předpokládám, že po úpravě jsi musel použit rozklad na parciální zlomky (tedy zpět ke zlomkům, co už jsi měl). Je tak? Děkuji.

Al1 · 15. 01. 2017 10:03

↑ jelena:

Zdravím,

máš úplnou pravdu. Stačilo integrovat jednotlivé zlomky v součtu. Holt někdy pro pro stromy nevidět les. i když u mě spíše obráceně, pro les nevidět stromy... :-)

↑ Dopikasan:

Omlouvám se za navedení na složitější cestu.

jelena · 15. 01. 2017 10:09

↑ Al1: :-) pan ředitel našeho nejmilejšího MGO připomíná tuto situaci. Věřím, že kolega příliš nezabloudil. Také děkuji a pozdrav.

Al1 · 15. 01. 2017 11:08

↑ jelena:

Tak to je přesné... :-)

Dopikasan · 15. 01. 2017 11:43

↑ Al1:
stane se :)
↑ jelena:

takhle po integraci?
$\frac{1}{3}(\frac{-ln(6+2y}{2}+\frac{ln(3+2y)}{2})$
$[\frac{1}{3}(\frac{-ln(6+2y}{2}+\frac{ln(3+2y)}{2})]^{2}_{0}$

po dosazení mezí

$\frac{-ln(10)}{6}+\frac{ln(7)}{6})+\frac{ln(6)}{6}-\frac{ln(3)}{6}$

což se liší od výsledků :(
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F3*(-1%2F(6%2B2y)%2B1%2F(3%2B2y))+from+0+to+2

vypadá to, že
-ln(6+2y) je špatně... že tam má být (3+2y), ale nevidím chybu :(

Al1 · 15. 01. 2017 12:10

↑ Dopikasan:

výsledek je jen o úpravě logaritmů

$\frac{-ln(2\cdot 5)}{6}+\frac{ln(7)}{6}+\frac{ln(2\cdot 3)}{6}-\frac{ln(3)}{6}=\ldots$

a nyní užij pravidlo pro logaritmus součinu. Nakonec dostaneš výsledek $\frac{\ln 7-\ln 5}{6}$

Jinak pokud bys první zlomek upravil na $-\frac{1}{6+2y}=\frac{-1}{2}\cdot \frac{1}{3+y}$ , měl bys celkový výsledek po integrování

$\left[-\frac{\ln |3+y|}{6}+\frac{\ln |3+2y|}{6}\right]_{0}^{2}$

Dopikasan · 15. 01. 2017 12:29

↑ Al1:
dá se tento tvar $\frac{-ln(2\cdot 5)}{6}+\frac{ln(7)}{6}+\frac{ln(2\cdot 3)}{6}-\frac{ln(3)}{6}=\ldots$ přepsat jako

$\frac{-ln(2)-ln(5)}{6}+\frac{ln(7)}{6}+\frac{ln(2)+ln(3)}{6}-\frac{ln(3)}{6}=\ldots$

pak by mi to konečně začlo vycházet :)

Al1 · 15. 01. 2017 13:05

↑ Dopikasan:

Ano, ta úprava je správná.

Dopikasan · 15. 01. 2017 13:20

↑ Al1:
supr, díky za pomoc v řešení :)

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2017 18:32 — Editoval Dopikasan (14. 01. 2017 18:33)

dvojný integrál

#2 14. 01. 2017 20:06

Re: dvojný integrál

#3 14. 01. 2017 20:34

Re: dvojný integrál

#4 15. 01. 2017 09:47

Re: dvojný integrál

#5 15. 01. 2017 09:51

Re: dvojný integrál

#6 15. 01. 2017 09:59

Re: dvojný integrál

#7 15. 01. 2017 10:03

Re: dvojný integrál

#8 15. 01. 2017 10:09

Re: dvojný integrál

#9 15. 01. 2017 11:08

Re: dvojný integrál

#10 15. 01. 2017 11:43

Re: dvojný integrál

#11 15. 01. 2017 12:10

Re: dvojný integrál

#12 15. 01. 2017 12:29

Re: dvojný integrál

#13 15. 01. 2017 13:05

Re: dvojný integrál

#14 15. 01. 2017 13:20

Re: dvojný integrál

Zápatí