Matematické Fórum

Zdravím,

snad ještě upřesní zadání. Předpokládám, že umístění sil F1, F2, F3 je dáno polohou bodů počátků (B, C, D) a směr je udán úhlem (nejspíš k vodorovnému kladnému směru, tedy k ose x). Pro sestavení momentové věty k bodu otáčení A jsi rozložil jednotlivé síly na složky , a hledáš ramena těchto složek sil k bodu A. Tj. ke každé nositelce síly (po rozkladu) hledáš úsečku kolmou k nositelce z bodu A.
Směr momentu je dohodou: pokud síla způsobí otáčení (zde si představíme, že bude působením otáčet odpovídající rameno okolo bodu A v rovině xOy) proti ručičkám, znaménko je kladné. Pokud po ručičkám - znaménko je záporné.

Tedy "přichází" ke svému ramenu z bodu A zezdola a bude toto rameno točit nahoru a otáčet okolo A proti směru ručiček (vyzkoušej třeba na pravítku uchyceném v jednom bodě), tedy znaménko kladné.   

Ve složitějších prostorových soustavách lze používat pro určení momentu pravidlo pravé ruky, ale jelikož obvykle lze vytvořit projekce sil do zvolené souřadnicové soustavy (do rovin), potom dohoda o ručičkách stačí zcela (pokud si vzpomínám).

Vlastně ani teď netuším,  jak tu sílu umístit, aby působila na úseku .

Pokud je poloha bodu D zadána, tak délka ramena (úsečka od A do místa, kde je kolmice z A k je dána jednoznačně a rovná se rozdílu x-souřadnic bodů D, A. Pokud by dotaz byl na doplnění síly F3 s nějakým předepsaným účinkem (např. výsledný součet momentů má být 0), potom můžeš sílu umísťovat libovolně a konkrétní umístění vyplyne až z výpočtu. Zde ovšem spíš předpokládám, že poloha síly F3 byla zadána.

Stačí tak? Děkuji.

↑ pavelka.a:

Zdravím a děkuji za upřesnění, zadání tedy vyžaduje nahradit soustavu sil umístěnou v rovině obecně (nejsou ani na jedné přímce, ani nejsou si rovnoběžné, ani nemají společné působiště) sílou a momentem k bodu A. Technika a principy jsou např. zde (kapitola IV) nebo zde i s příkladem.

Prakticky se to provádí tak, že nejdřív s počátkem do bodu působení přeneseme síly rovnoběžné a stejné velké zadaným. Takové sily už umíme sečíst jako součet vektorů. Ovšem doplněním takových sil bychom narušili původní stav systému (jsou navíc). Tedy ke každé "nově dokreslené" síle kreslíme sílu přesně opačnou. Jakože dokreslené jsme vynulovali. Teď opačná síla a k ní úplně původní síla tvoří dvojici sil, o které je známo, že moment má M=Fd (d je vzdálenost původní síly od místa působení "nové k ní opačné").
Tedy máme ramena jednotlivých sil.
Na obrázku řešíme tak, že jdeme po přímce, která je nositelkou síly a najdeme vzdálenost od této přímky od bodu A (tedy hledáme kolmici z bodu A k nositelce). Tj. zelenou šípku dokresli ještě tenkou čárou nahoru, ať červena je skutečně kolmici a není ve vzduchu.
Máme tedy náhradu součtem sil a momentem, který vypočteme, jak jsme si řekli. Popř. ještě upřesňuj, co není jasné. Děkuji.

↑ pavelka.a:

ohledně bodu A jsem tak rozuměla dle zadání, že soustavu sil F1, F2, F3 máme nahradit působením v bodě A (jak jsi doplnil v úvodním textu):

Nahraďte rovinnou soustavu sil   v bodě A. Působiště sil je v bodech  B C D.

Při takovém požadavku s ohledem na původní síly (obecná soustava v rovině) mluvíme o náhradě sílou a momentem (viz kapitola 2 v odkazu cca str. 11). 

Proto sílu (černá) mohu rovnoběžně přesunout do bodu D (zelená) ale musim k ní připojit moment?

to je trochu jinak - zadána byla síla (šikmá), tu bychom mohli rovnou přenášet a také k ni hledat rameno (kolmici z bodu A) k nositelce F3. Ale to by se nám nepohodlně pracovalo s úhly. Proto jsme nejdřív sílu F3 rozložili na složky dle souřadnic x, y. A ten rozklad nejlépe mohl vycházet přímo z bodu D (viz náhrada "výslednice" sil se společným působištěm). Tedy zelená už by rovnou byla jednou složkou rozkladu (přesně tak je rozložena ). F3 rozkládej stejně a nebudeš mít problém, proč je najednou v jiném místě, než bod D.

Proč k přenosu ještě vznikne moment, to jsem už psala v předchozím povídání (ale v tom zřejmě problém není). Je to alespoň trochu jasné? Děkuji.

↑ pavelka.a:

ano, může být. Nakonec i přímo ve Tvém příkladu je to situace u složek síly F3. Můžeš ještě se podívat na moment, který odvodí síla F (bez rozkladu), bude to ve shodě s počítáním s použitím rozkladu (což je asi jasné také).

↑ pavelka.a:

opět budeš mít soustavu sil nějakým způsobem zadanou (i třeba tak, jak bylo v úloze příspěvku 1). Ovšem nebude zadán bod, ve kterém se soustava nahrazuje (což by prakticky odpovídalo požadavku "zjisti, co se přesně děje v bodě A"), ale najít, výslednici soustavy sil (tj. její velikost, směr a působiště). Směr a působiště nám budou jednoznačně určovat "budoucí nositelku", ale až do dořešení nositelku považujeme za neznámou. Prakticky požadavek lze formulovat "zjistí, kde se bude něco dít").

Rovnice v červeném rámečku vyjadřuje výpočet velikosti ramena pro y-složku síly F (pro ), je to souřadnice bodu na grafu [x, 0], opět se mi zdá, že "problém zamlžuje" rozklad síly F na složky. Pokud zakreslíš rozklad tak, aby všechny složky rozkladu vycházely ze stejného počátku, jako síla F, potom by to mělo být vidět dobře.  Samotný zápis je zápis momentu síly s ramenem x, odsud počítáme neznámou x a určíme působíště výsledné. Zkus třeba projít příklady zde. 

Omlouvám se za pozdní odpověď, snad ještě použiješ. Zdravím.

↑ pavelka.a:

Rozuměla bych tomu tak, že "Nahraďte rovinnou  soustavu sil výslednou silou" je požadavkem najít jednu výslednou sílu (náhradu). Podmínky náhrady jsou .
Mohla bych splnit požadavek "Nahraďte rovinnou  soustavu sil ekvivalentní soustavou" - takových náhrad bych mohla provést více (najít více různých ekvivalentních soustav ). Pro každou nalezenou soustavu musím splňovat podmínku ekvivalence.
Pokud z těchto ekvivalentních soustav vyberu soustavu tvořenou jednou sílou (tedy výslednou), splním podmínku "náhrady". 

Čekal bych, že se využije podmínka náhrady. Nicméně zkoušel jsem to počítat i pomocí náhrady a výsledek vyšel stejný.

vyjde, jelikož za cíl máš hledání "náhrady" (jedné výsledné). Ale jako mezikroky používáš ekvivalenci. Např. rozklad síly na složky x, y je využití "ekvivalence". Naopak spojení složek do jedné síly je užití "náhrady". Tedy, než dojdeš k "náhradě" můžeš použit několik kroků ekvivalence (třeba z důvodu usnadnění - můžeme pracovat s nerozloženými sílami a rovnou půjdeme k náhradě, ale můžeme síly rozložit na souřadnicové složky (ekvivalence), použit jejich součty (ekvivalence), výsledek sečíst do výsledné (ekvivalence=náhrady)).

Dalo by se říci, že náhrada je jakousi "podmnožinou ekvivalence"?

:-) nevím, zda použití takového pojmu zvládnu, ale snad ano, můžeme považovat za "podmnožinu ekvivalence".

↑ pavelka.a: také děkuji, označím za vyřešené. Počítání více úloh určitě pomůže + ještě s tužkou procházet teorii.