Matematické Fórum

UčitelT · 08. 01. 2017 20:26

Prosím o radu s následujícím příkladem:
Čtyřstěn, jehož protilehlé strany jsou shodné, mají navzájem shodné stěny tvořené ostroúhlým trojúhelníkem.
Dokázat, že mají shodné stěny je jednoduché, ale jak dokázat, že se jedná o ostroúhlé trojúhelníky? Díky za rady.

misaH · 08. 01. 2017 20:32

↑ UčitelT:

Steny štvorstena aj podstava sú trojuholníky (dohromady 4).

Ktoré steny sú protiľahlé?

Al1 · 08. 01. 2017 20:47

↑ UčitelT:

Zdravím,

jak je definovaná strana čtyřstěnu? Čtyřstěn je těleso, které má 6 hran. Úloha je zadána dost podivně.

UčitelT · 08. 01. 2017 20:55

Hrany BD a AC, AB a CD, BC a AD. Myslí se vždy ty hrany, které spolu nesousedí. Jinak souhlasím, že úloha je zadána podivně, omlouvám se, že jsem hned nedoplnil vysvětlující výklad :)

UčitelT · 14. 01. 2017 16:08

Tuší někdo, jak na to? Díky za odpověď.

jelena · 15. 01. 2017 09:38

Zdravím,

↑ UčitelT: snad jsem pochopila jak jsou k sobě umístěny shodné hrany (pro trojúhelník ABC, který je podstavou každá hrana AB, BC, AC má "svou" shodnou hranu jdoucí k vrcholu). Potom ale nejsou trojúhelníky navzájem shodné (po dvojicích), jelikož odvodíme návaznost jednotlivých dvojic na sebe a shodné jsou všechny trojúhelníky, co čtyřstěn tvoří (vyšlo tak i v důkazu?). Potom by to snad šlo použit i na důkaz, že jsou ostroúhlé.

Nebo, pokud si vybavuji geometrické důkazy, tak často se uplatní spor (předpoklad, že ostroúhlý není). Ale celý postup nemám, ani nejsem si jistá se správným porozuměním zadání. Je možné vidět v širším kontextu (je to sbírka apod.?) Děkuji.

UčitelT · 15. 01. 2017 10:23

Pochopení je správné (každá hrana trojúhelníka ABC je opravdu shodná s jednou hranou jdoucí k vrcholu) a trojúhelníky jsou všechny shodné. K tomu jsem již dospěl také. Problém je právě v tom, jak dokázat, že trojúhelníky nejsou tupoúhlé. Jinak zadání příkladu nevychází ze sbírky.

jelena · 15. 01. 2017 12:13

↑ UčitelT:

děkuji, mne napadá jen "rozbalit" boční stěny do roviny podstavy a doplnit na velký trojúhelník. Měly by vznikat "doplňkové" rovnoramenné trojúhelníky, úhly by měly jít odvodit od velikosti úhlů vnitřního trojúhelníku ABC a podívat se na úhly, co vzniknou ve velkém trojúhelníku $\Delta DD_1D_2$ (označím tak po rozbalení vrcholu D do roviny). Ale nevím, zda už zde mlčky nepředpokládám, že trojúhelníky jsou ostroúhlé.

Přesunu do zajímavých pro SŠ, kde bude větší odezva nápaditějších kolegů (a zkuste více rozvést, jak úloha vznikla). Děkuji.

vanok · 15. 01. 2017 16:07 — Editoval vanok (16. 01. 2017 10:44)

Pozdravujem a tiez posielam priania do tohto Noveho Roku.
↑ jelena:d
↑ UčitelT:
Taketo stvorsteny, co maju dvojice hran rovnakej dlzky su zname.
Nestuduju sa na strednej skole? ( poznamka, cim dalej tym sa menej uci geometria, aspon v Europe. A inde?)
Myslienka od ↑ jelena:, je iste najlepsia na riesenie problemu, ze ide o ostrouhle trojuholniky.( tu nedam formalny dokaz,ale skor klucovu heuresticku myslienku,...co uspokoji stredoskolaka)
Podla terminologie v ↑ jelena:, maly trojuholnik $\Delta$ a velky $\Delta DD_1D_2$ su podobne ( pre dany stvorsten)[velky mozme volat plast stvorstenu]
Je jasne, ze ak jeden uhol je tupy v $\Delta$ , tak druhe dva dotykajuce uhly vo velkom trojuholniku po zlozeni modelu sa nemozu prekryvat, ( je tam medzera!) [ v pripade troch ostrich uhlov sa prekryvaju, a tak ak sa v priestore stotoznia su mimo roviny maleho trojuholnika]
Tieto stvorsteny maju aj ine zaujimave vlasnosti.
Tak nejake otazky na riesenie:
Nech ABCD je jeden taky stvorsten ( tetraeder)
A) najdite ( urcite, popiste) jeho isobarycentrum = tazisko G
B) dokazat ze G je stred opisanej guly tomuto stvrstenuu
C) vpisala gula existuje?y
D) co mozeme povedat o useckach ktore tvoria stredy stran rovnakich dlzkok?

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2017 20:26

Čtyřstěn

#2 08. 01. 2017 20:32

Re: Čtyřstěn

#3 08. 01. 2017 20:47

Re: Čtyřstěn

#4 08. 01. 2017 20:55

Re: Čtyřstěn

#5 14. 01. 2017 16:08

Re: Čtyřstěn

#6 15. 01. 2017 09:38

Re: Čtyřstěn

#7 15. 01. 2017 10:23

Re: Čtyřstěn

#8 15. 01. 2017 12:13

Re: Čtyřstěn

#9 15. 01. 2017 16:07 — Editoval vanok (16. 01. 2017 10:44)

Re: Čtyřstěn

Zápatí