Matematické Fórum

sitatunga · 18. 01. 2017 15:00

Ahoj, potrebovala bych pomoct s timto prikladem.

Jaký je součet všech trojciferných čísel sestavených z číslic 1,2,3,4,5, přičemž číslice se mohou opakovat.

Vsech takovych cisel je jiste $5^3$ . Jenze nevim, co s tim dal.
Napadlo me jestli by se to nedalo resit pomoci rozkladu cisla na $5^3$ scitancu, ale to by bylo asi komplikovane.

Budu rada za jakoukoli radu :)

misaH · 18. 01. 2017 15:10 — Editoval misaH (18. 01. 2017 15:10)

↑ sitatunga:

No - možno sa dá zistiť, ktoré presne číslice sa nachádzajú napríklad v poslednom stĺpci a koľko ich tam je.

Rumburak · 18. 01. 2017 15:17

↑ sitatunga:

Ahoj.

Trojciferná čísla, která nás zajímají, můžeme zapsat ve tvaru

$10^2x + 10y + z$ , kde $x, y, z \in \{1,2,3,4,5\}$ .

Chceme tedy spočítat hodnotu výrazu

$\sum_{x = 1}^5\sum_{y = 1}^5\sum_{z = 1}^5(10^2x + 10y + z)$ ,

což není tak těžké, jak to na první pohled možná vypadá. Chce to jen trochu sběhlosti
v práci se summačním symbolem.

sitatunga · 18. 01. 2017 15:36

↑ Rumburak:
Neco podobneho me taky napadlo, ale prislo mi to dost pracne vzhledem k tomu kolik vznikne scitancu, proto jsem uvazovala, jestli neexistuje nejaky rychlejsi, snazsi a elegantnejsi zpusob.

Kazdopadne moc dekuju za odpoved.

zdenek1 · 18. 01. 2017 22:34

↑ sitatunga:
Jistěže to jde jednodušeji
Představ si všechna čísla napsaná pod sebe. V sloupci jednotek se vyskytuje každá z cifer 25krát, tj. součet je
$25(1+2+3+4+5)$
Ve slouci desítek je to úplně stejné a ve stovkách také
Celkový součet
$(1+10+100)\cdot25\cdot(1+2+3+4+5)$

misaH · 18. 01. 2017 22:54

↑ zdenek1:

:-)

sitatunga · 19. 01. 2017 14:19

↑ zdenek1:↑ misaH:

Dekuju vam obema.
Presne takovy zpusob jsem hledala :)

Rumburak

↑ sitatunga:

Zase až tak pracné to není, pokud využijeme linearity summačního operátoru:
Označíme-li

$F:=\sum_{x = 1}^5\sum_{y = 1}^5\sum_{z = 1}^5$ ,

potom i F je linární operátor, protože vznikl složením tří lineárních operátorů, při čemž

(1) toto složení je zde navíc komutativní, protože summační proměnné jsou nezávislé.

Takže pro hledaný součet $S$ platí

$S=\sum_{x = 1}^5\sum_{y = 1}^5\sum_{z = 1}^5(10^2x + 10y + z) =\\= F(10^2x + 10y + z) = 100 Fx + 10Fy + Fz$ .

Vzhledem k (1) je zřejmé, že $Fx = Fy = Fz$ , tedy celkem

$S= (100 + 10 + 1) Fz$ ,

kde $Fz = 5\cdot 5\cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$ .

Jde tedy pouze o formálněji provedený postup, který navhl kolega Zdeněk.