Matematické Fórum

wewera · 21. 01. 2017 10:09

Ahoj, snažím se spočítat tento příklad:

$f(x) = arctg(x+\frac{1}{x})$

Na Wolframu mi to příklad spočítalo takhle:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-01/89433_derivace.jpg

Vůbec nějak nechápu kde se tam co vlastně vzalo. Může mi to někdo vysvětlit?
Neměl by se příklad počítat podle vzorce y´= f´(x)*g(x) + f(x)*g´(x) ?

Al1 · 21. 01. 2017 10:28

↑ wewera:

Zdravím,

především je třeba si uvědomit, že počítáš derivaci složené funkce. Vidíš, že vnitřní fce je označena $u=x+\frac{1}{x}$ a vnější funkce je $f(u)=\tan^{-1}(u)$ . Derivace složené funkce je součinem derivací vnitřní a vnější funkce.

wewera · 21. 01. 2017 10:57 — Editoval wewera (21. 01. 2017 10:59)

Asi si to neumím dost dobře představit. Můžeš mi prosím rozepsat jak vlastně začít počítat?

Al1 · 21. 01. 2017 11:09

↑ wewera:

Když zjednoduším zápisy, pak

$u(x)=x+\frac{1}{x}$ vypočítej derivaci fce u podle x (1)
$f(u)=\tan^{-1}(u)$ vypočítej derivaci f(u) podle u. Po výpočtu dosaď zpětně $u=x+\frac{1}{x}$ (2)

Derivaci složené funkce f(u(x)) získáš jako součin (1) a (2)

Eratosthenes · 21. 01. 2017 11:48

ahoj ↑ wewera:,

vezmi si předpis

$arctg(x+\frac{1}{x})$

a představ si, jak bys na kalkulačce počítal funkční hodnotu:

1) zadáš nějaké x
2) spočítáš převrácenou hodnotu
3) připočítáš x
4) nasadíš arctg

Derivuješ totiž v přesně obráceném pořadí:

1) zderivuješ arctg, ať je v argumentu cokoliv s proměnnou (nesmí to být konstanta):

$(arctg(cokoliv))'=\frac 1 {1+cokoliv^2}*...$

2) arctg máš vyřízený, zbývá to "cokoliv", takže derivuješ "cokoliv"

$(arctg(cokoliv))'=\frac 1 {1+cokoliv^2}*(cokoliv)'$

V našem případě je

$"cokoliv''=x+\frac 1 x$

takže

$arctg(x+\frac{1}{x})=\frac 1 {1+(x+\frac 1 x)^2}\cdot (x+\frac 1 x)'$