Matematické Fórum

natýsek · 24. 01. 2017 15:28

neznám znaky, tak snad to aspon bude trošku srozumitelné. Jak spočítat tuto limitu pomocí L'Hospitalova pravidla?
$\lim_{x\to0}x\cdot ln (x+1)/x-ln (x+1$
díky všem za odpověd

Takjo · 24. 01. 2017 15:34

↑ natýsek:
Dobrý den,
ověřil jste si možnost použití L'Hospitalova pravidla?
Pokud ano, derivujte samostatně čitatele a jmenovatele...

natýsek · 24. 01. 2017 15:40

no já jsem to původně počítala, takto, ale to je asi pěkná kravovinka :D $\lim_{\to} 1\cdot \frac{1}{x+1} / 1-\frac{1}{x+1}$

Takjo · 24. 01. 2017 15:48

↑ natýsek:
Dobrý den,
takže derivace čitatele: $\ln (x+1)+x\cdot \frac{1}{x+1}$
derivaci jmenovatele máte správně.
Opět ověřte možnost použití L'Hospitalova pravidla a pak derivujte podruhé.

Rumburak · 24. 01. 2017 15:54

↑ natýsek:

L'H. pravidlo by nejspíš pomohlo.

Jiné možnosti:

A) využít rozvoje $\ln (1+x)$ v mocninnou řadu,

B) substitucí $\ln(x+1) = t \to 0$ přejít k limitě $\lim_{t \to 0} \frac{t(\text{e}^t - 1)}{\text{e}^t - 1 - t}$
a případně rozvést v mocninnou řadu tentokrát exp. funkci.

natýsek · 24. 01. 2017 15:55

a jo složená funkce :D, takže nyní čitatel bude: $\frac{1}{x+1}+1\cdot- x^{-2}$ ::
jmenovatel takto: $x^{-2}$ x^{-2}/(X+1)^{2} $$$$ a to asi ne žene

natýsek · 24. 01. 2017 15:56

JMENOVATEL $X^{-2}/(X+1)^{2}$

natýsek · 24. 01. 2017 15:57

RUMBURAK: MÁME TO POČÍTAT POUZE S l'h a nějako mi to nemyslí, matika na vš, je pro mě ořech, neznáte tu nějaké skvělé dobré materiály, z kterých se dá učit?

Takjo · 24. 01. 2017 16:07

↑ natýsek:
Dobrý den,
po druhé derivaci: $\frac{\frac{1}{x+1}+\frac{(x+1)-x}{(x+1)^{2}}}{0-\frac{-1}{(x+1)^{2}}}$
Toto zjednodušte a dosaďte limitní bod.

jarrro · 24. 01. 2017 16:09 — Editoval jarrro (24. 01. 2017 16:28)

chceš počítať $\lim_{x\to 0}{0}=0$
alebo $\lim_{x\to 0}{$\ln{\(x$}+1\)}=-\infty$
či nebodaj
$\lim_{x\to0}{\frac{x\cdot \ln{$x+1$}}{x-\ln{$x+1$}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{x^2}{x-\ln{$x+1$}}}=2$
?
LH pre $\lim_{x\to0}{\frac{x\cdot \ln{$x+1$}}{x-\ln{$x+1$}}}$
$\lim_{x\to0}{\frac{x\cdot \ln{$x+1$}}{x-\ln{$x+1$}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{$x+1$}+\frac{x}{x+1}}{1-\frac{1}{x+1}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{$x+1$\ln{$x+1$}+x}{x}}=\nl =1+\lim_{x\to 0}{$\ln{\(x+1$}+1\)}=2$
Počítanie pomocou LH predsa neznamená, otrocké derivovanie bez úpravy ( pokiaľ existuje úprava čo výpočet ( ako v tomto prípade ) uľahčí)