Matematické Fórum

holar · 23. 01. 2017 15:35

Dobrý den,
jak prosím na řešení tohoto určitého integrálu?
$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}x^{n}dx$
Děkuji moc!

Freedy · 23. 01. 2017 15:50 — Editoval Freedy (23. 01. 2017 15:50)

Ahoj, n je předpokládám přirozený parametr.
Tato úloha lze řešit celkem hezky pomocí goniometrické substituce.
Položíme-li
$x = \sin t$
potom
$\text{dx} = \cos t\text{dt}$
Meze jsou nyní od -pi/2 do pi/2 a máme
$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-\sin ^2t}\sin ^nt\cos t\text{dt}$

protože $\sqrt{1-\sin ^2t} = \cos t, \quad t\in \Big(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\Big)$ potom
$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^nt\cos ^2t\text{dt}=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^nt\text{dt}-\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{n+2}t\text{dt}$

A předpokládám, že integrál typu $\int_{}^{}\sin ^nx\text{dx}$ řešit umíš.

jelena · 24. 01. 2017 19:32

Zdravím,

↑ Freedy: ještě, pokud správně dosazuji $(-x)$ , integrovaná funkce na def. oboru je sudá pro sudé $n$ a lichá pro liché $n$ , s tím plynoucími důsledky pro výpočet určitého integrálu na zadaném intervalu. Je tak? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2017 15:35

Určitý integrál

#2 23. 01. 2017 15:50 — Editoval Freedy (23. 01. 2017 15:50)

Re: Určitý integrál

#3 24. 01. 2017 19:32

Re: Určitý integrál

Zápatí