Matematické Fórum

Zdravím,

pokud je přímka zadána 2 body v prostoru, potom lze sestavit její parametrický zápis (3 rovnice s parametrem t). Válcový povrch (se středem 0, 0 a poloměrem r se zapíše v prostoru rovnici . Dosazením souřadnic x, y (z rovnice přímky) do předpisu válcového povrchu se určí parametr t, který potom lze dosadit do z (z rovnice přímky, také do x, y) a získat tak požadované kompletní souřadnice. Je to to, co potřebuješ? Děkuji.

↑ unknow005:

také děkuji. Pokud bych to měla řešit obecně, tak plochu v prostoru lze popsat funkci dvou proměnných . Pokud mám přímku v parametrickém tvaru (, , ), při hledání průsečíku přímky a plochy hledáme řešení rovnice s jednou neznámou:
, což je prakticky proveditelné (i pomocí strojových výpočtů v případě některých "divočejších" funkcí zadávajících povrch).

To není třeba řešit, důležité je, že vypadnou body průniků s hodnotami X a Y.

to znamená, že "vypadnou" body=projekce bodů průsečíků do roviny . Opět lze pracovat s parametrickým tvarem přímky v prostoru (kterou jednoznačně zadávají body K, Z), aby se zpětně našla pozice bodů A, B na přímce KZ (tedy i včetně z-souřadnice). Stalo by za to upřesnit, zda sestavení parametrické rovnice přímky KZ je jasné.

tak dopočítání bodu A a B by mělo jít řešit přes pravoúhlý trojúhelník.

to by také šlo, výhodou využití analytického vyjádření je to, že vůbec nemusíš pracovat s obrázkem, jen s výpočtem. Zůstala bych spíš u ujasnění parametrického tvaru přímky, který se mi zda pro práci v prostoru jako dost podstatný pojem.

Rozumíme se? Děkuji.

↑ unknow005:

také děkuji. Pokud jsem správně porozuměla popisu výpočtu, je to varianta využití podobnosti trojúhelníků (což lze očekávat, pokud se pracuje s úsečkou v prostoru s její projekci do jedné ze souřadnicových rovin).

otestováno a funguje za všech okolností správně.

potom je všechno v pořádku - pokud splňuje Tvé praktické záměry, co více lze přát :-)

Vesměs vše výše je snaha nahradit složité 3D počítání průniků v prostoru.

To nedokáží posoudit, představím si, že např. hledám průsečík plochy dané předpisem s přímkou, kterou jsem si vymyslela (prochází počátkem a bodem (5, 3, 2), jelikož plocha se nějakým způsobem opakuje (v zápisu má periodickou funkci sin(x)), dostanu hodně různých průsečíků daných předpisem - řešením soustavy. Situaci mám usnadněnou použitím počítačového výpočtu. Ručně bych si musela nejspíš poradit nalezením vhodných řezů. Toto jen na doplnění důvodů použití parametrického zápisu přímky v prostoru.

Popř. doplní kolegové, kdo s tím má větší praktické zkušenosti. Kolegům děkuji.

Počítání 3D průniku je problematické u objektů, které se nadají tak snadno popsat jako třeba válec. Řez na osu (v našem případě je to osa Z) vytvoří jednoduchý 2D obrazec u kterého lze velmi snadno spočítat průniky libovolné přímky. Proč? Protože ve 3D (při použití reálných čísel) nelze například určit přesný průnik dvou 3D přímek (pokud nejsou osově rovnoběžné). Řeší se to určením dvou nejbližších bodů a pokud je jejich vzdálenost od sebe menší něž nějaké "Epsilon" číslo, tak to prohlásíme za průnik. To je důvod proč to počítám přes 2D u kterého něco podobného nenastává. :)

↑ unknow005:


Vůbec ti nerozumím.  Na popisu válce není nic složitého.  Co to je "řez na osu"? Těleso můžeš řezat rovinou, ale nikoliv přímkou, natož osou. Průniky přímky s plochou neurčíš tak, že místo plochy vezmeš nějaký "jednoduchý obrazec". "Přesný průnik 3D přímek" určit samozřejmě lze (i přesný průnik přímky s válcem) a je to velmi jednoduché. Pokud jsou přímky rovnoběžné, pak buď nemají žádný společný bod, anebo mají společné všechny body. Znám pojem přímky rovnoběžné různé. Pojem "přímky osově rovnoběžné" neznám. S nějakými epsilony (tolerancemi) můžeš počítat vždy a je úplně jedno, jestli ve 2D, anebo 3D. To červené, co maluješ, není podle napsaných souřadnic) přímka a nějaké tolerance to nespraví - to by musely být tolerance v řádu jednotek a to pak nemá cenu nic počítat.

PS: Je to něco takového?

↑ unknow005:

no, nevím, jak to funguje, souřadnice bodů A, B máš určitě špatně. Moc na tom k přemýšlení ani k převodům do 2D není, zvlášť jestli to programuješ. Dá se to udělat jednoduše přímo a je to tak na čtyři (možná trochu delší) programové řádky.

Takže: Bod Z označím jako M (ať se neplete s osou z):



rovnice válcové plochy                       rovnice přímky

                                     
                                     
                                               

Porovnáním pravých stran prvních dvou rovnic




rovnice umocním a sečtu:



Dostávám kvadratickou rovnici pro t, kterou vyřeším a dostanu nula až dvě hodnoty pro t. Dosadím do rovnbice přímky a dostanu všechny souřadnice nula až dvou průsečíků, které hledám.

Jak říkám, v programu tak čtyři řádky kódu...