Matematické Fórum

slender · 25. 01. 2017 12:27

Ahoj,
řeším úlohu o mincích v šuplících na Bayesovu větu, na kterou jsem narazil snad ve všech materiálech:

Mějme 3 zásuvky a 6 mincí – 3 zlaté a 3 stříbrné. Do těchto tří zásuvek rozmístíme tři páry mincí: ZZ, ZS, SS (Z značí zlatou minci, S stříbrnou). Náhodně vybereme zásuvku, ze zásuvky náhodně vybereme minci a zjistíme, že je zlatá. Jaká je pravděpodobnost, že i druhá mince v této zásuvce bude zlatá?

Řešení úlohy je většinou prezentováno jako ideální příležitost pro použití Bayesovy věty:

$P(B_i\vert A)=\frac{P(A\vert B_i)\cdot P(B_i)}{\sum_j P(A\vert B_j)\cdot P(B_j)}$ , kde si za $B_i$ označíme pravděpodobnost, že pár ZZ je právě v i-té zásuvce, A je pak výběr mince z náhodně vybrané zásuvky.

Napadlo mě alternativní (pro mě intuitivnější) řešení, které vyšlo stejně, nejsem si však jist, zda jde o shodu okolností a nebo zda je skutečně také použitelné, stačí zde použít vzorec z definice podmíněné pravděpodobnosti a vzorec pro disjunktní podmíněnou pravděpodobnost:

$P(\text{2. mince je zlatá}\vert\text{1. mince je zlatá})=\frac{P(\text{2. mince je zlatá}\cap \text{1. mince je zlatá})}{P(\text{1. mince je zlatá})}$

Čitatel známe, je to prostě pravděpodobnost, že vybereme ten správný šuplík:
$P(\text{2. mince je zlatá}\cap \text{1. mince je zlatá})=\frac{1}{3}$

Jmenovatel pak rozepíšeme na jednotlivé případy:
$P(\text{1. mince je zlatá})= P(\text{1. mince je zlatá}\vert\text{vybrali jsme 1. zásuvku})\cdot P(\text{vybrali jsme 1. zásuvku})\\+ P(\text{1. mince je zlatá}\vert\text{vybrali jsme 2. zásuvku})\cdot P(\text{vybrali jsme 2. zásuvku})\\+ P(\text{1. mince je zlatá}\vert\text{vybrali jsme 3. zásuvku})\cdot P(\text{vybrali jsme 3. zásuvku})\\=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Výsledky pak stačí dosadit:
$P(\text{2. mince je zlatá}\vert\text{1. mince je zlatá})=\frac{P(\text{2. mince je zlatá}\cap \text{1. mince je zlatá})}{P(\text{1. mince je zlatá})}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

Stýv · 25. 01. 2017 17:21

ona ta slavná Bayesova věta by se taky mohla nazývat "Bayesovo triviální pozorování, plynoucí z definice podmíněné psti a věty o úplné psti", ale to nemá ten správnej zvuk...

takže ano, pokud znáš přímo $P(A\cap B_i)$ , nemusíš čitatel rozepisovat jako $P(A\vert B_i)\cdot P(B_i)$ , jmenovatel pak počítáš stejně jako je to v Bayesově větě

slender · 25. 01. 2017 17:43

↑ Stýv: Hm, koukám, že jsem si to mohl taky sám odvodit a nemusel jsem se tady hloupě ptát. :D Každopádně díky. :)

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2017 12:27

Alternativní řešení úlohy s mincemi a šuplíky (bez Bayesovy věty)

#2 25. 01. 2017 17:21

Re: Alternativní řešení úlohy s mincemi a šuplíky (bez Bayesovy věty)

#3 25. 01. 2017 17:43

Re: Alternativní řešení úlohy s mincemi a šuplíky (bez Bayesovy věty)

Zápatí