Matematické Fórum

Wooh · 24. 01. 2017 02:43

Zdravím, chtěl bych vás poprosit o pomoc s jedním krokem v důkazu Lebesgueovy věty, kterou máme v rámci předmětu Furierova analýza definovanou jako:
Nechť máme posloupnost $\{\varphi _n\}_{n=1}^{\infty } \subseteq M([a,b])$ tedy posloupnost funkcí měřitelných na intervalu $[a,b]$ . $\exists M > 0 : |\varphi_n(t)| \le M$ pro skoro všechna $t \in [a,b]$ , $\forall n \in \mathbb{N}$ $\forall c \in [a,b]$
$\lim_{n\to\infty }\int_{a}^{c}\varphi _n(t) dt = 0$
Pak pro
$\forall f \in L([a,b])$
platí
$\lim_{n\to\infty }\int_{a}^{b}f(t)\varphi _n(t) dt = 0$ .

Začátek důkazu
Podstatná část důkazu

Jde mi o konkrétní část důkazu v druhém URL. Tvrdíme, že $\int_{x_k}^{x_{k+1}} \varphi_n(t) dt \to 0$ , což plyne z předpodu věty. Dále tedy i $f(x_k)\int_{x_k}^{x_{k+1}} \varphi_n(t) dt \to 0$ jelikož $f(x_k)$ je pouze číslo a konvergenci nepokazí. To co ale nevím jak zdůvodnit, je proč konverguje i suma přes tyto intervaly k 0 tedy $\sum_{k=0}^{m-1}f(x_k)\int_{x_k}^{x_{k+1}} \varphi_n(t) dt \to 0$ . Byl mi dán protipříklad harmonické řady, kde členy jdou postupně k 0, ale součet řady je divergetní.
Děkuji moc za každou radu.

Stýv · 24. 01. 2017 08:11

Limita součtu se rovná součtu limit. Nekonečné řady do toho nepleť.

Wooh · 25. 01. 2017 23:26

Toto právě nestačilo. Napadlo mě jestli třeba nechtěl slyšet, že ta řada je do m, tedy přes konečný počet intervalů. Ikdyž tím si taky nejsem moc jistý, vzhledem k tomu, že to má platit pro libovolné epsilon.

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2017 02:43

Důkaz Legesgueovy věty

#2 24. 01. 2017 08:11

Re: Důkaz Legesgueovy věty

#3 25. 01. 2017 23:26

Re: Důkaz Legesgueovy věty

Zápatí