Matematické Fórum

Martethka · 25. 01. 2017 19:25

Prosím o pomoc,
Urcete rovnici přímky, která prochází bodem A [-2, -6] a jejiz vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je $2*\sqrt{2}$
Díky za vypocitani

misaH · 25. 01. 2017 21:05 — Editoval misaH (25. 01. 2017 21:07)

↑ Martethka:

Ahoj.

My tu ľuďom úlohy nepočítame - prečítaj si pravidlá fóra.

Čo si už skúsila?

Martethka · 25. 01. 2017 21:14

↑ misaH:
Kdybych věděla, jak se to bude počítat, tak se neptam, napadla me rovnice vzdálenosti body, ale mam v ni tri neznámé a nevim, co s tim.

Akojeto · 25. 01. 2017 22:45

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-01/80696_IMG_1374.PNG

zdenek1 · 25. 01. 2017 23:38

↑ Martethka:
Nemáš tam 3 neznámé, to jen tak vypadá.
Obecná rovnice přímky procházející bodem A[-2;-6] je
$a(x+2)+b(y+6)=0$ (*) po roznásobení
$ax+by+2a+6b=0$
rovnice vzdálenosti bodu od přímky ti dá
$\frac{|2a+6b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\sqrt2$
což ti po úpravě (zkrátit a umocnit) dá
$a^2-6ab-7b^2=0$
$(a-7b)(a+b)=0$
takže
$a=7b$ nebo $a=-b$
Nyní stačí tyto hodnoty dosadit do (*) a upravit

hyori · 25. 01. 2017 23:59

nemyslel tou 3. neznámou náhodou c? :)
ax+by+c=0 (rovnica roviny priamky v rovine)
či? :)

misaH · 26. 01. 2017 00:07

↑ hyori:

Veru či ...

Jj · 26. 01. 2017 00:16 — Editoval Jj (26. 01. 2017 00:17)

↑ hyori:

Předpokládám, že to tak myslela. Ovšem v obecné rovnici přímky záleží jen na poměru koeficientů a, b, c; tzn. v podstatě jde jen o dvě neznámé (jednu je např. možno vhodně zvolit, nebo hledat dva poměry a/c, b/c atp. - takto je vždy možno sestavit obecné rovnice vyjadřující tutéž přímku).

Cheop · 26. 01. 2017 09:29 — Editoval Cheop (26. 01. 2017 09:41)

↑ Martethka:
Nebo takto:
Hledaná přímka bude mít tvar:
$y=kx+q$ dosazením bodu A dostaneme:
$-6=-2k+q\\q=2k-6$
Rovnice přímky:
$y=kx+2k-6\\kx-y+2k-6=0$
Tato přímka má mít od bodu $O=(0;\,0)$ vzdálenost $2\sqrt 2$ tj:
$\frac{|k\cdot 0-0+2k-6|}{\sqrt{k^2+1}}=2\sqrt 2$
$(2k-6)^2=8(k^2+1)\\4k^2-24k+36=8k^2+8\\4k^2+24k-28=0\\k^2+6k-7=0\\(k+7)(k-1)=0\\k_1=-7\\k_2=1$
$p_1: -7x-y-14-6=0\\7x+y+20=0\\p_2: x-y+2-6=0\\x-y-4=0$
Řešení:
$p_1: 7x+y+20=0\\p_2: x-y-4=0$

vlado_bb · 26. 01. 2017 10:14

misaH napsal(a):
↑ Martethka:

Ahoj.

My tu ľuďom úlohy nepočítame

.... ale pocitame ... ako vidis

misaH · 26. 01. 2017 10:27

↑ vlado_bb:

:-)

Čo už...

Honzc · 26. 01. 2017 12:06 — Editoval Honzc (26. 01. 2017 12:07)

↑ hyori:
Nebo "klasický" postup.
Vzdálenost počátku od přímky vlastně znamená, že hledáme tečnu ke kružnici se středem v počátku, která má poloměr stejný jako daná vzdálenost a prochází zadaným bodem.
Řešíme tedy soustavu
$x^{2}+y^{2}=8$
$y=kx+q$ po dodazení bodu A: $-6=-2k+q\Rightarrow q=2(k-3)\Rightarrow y=kx+2(k-3)$
tak, aby přímka s kružnicí měla pouze jeden průsečík (tečna)
dostaneme
$(1+k^{2})x^{2}+4k(k-3)x+4(k-3)^{2}-8=0$
Aby to byla tečna musí být diskriminant kvadratické rovnice roven 0 (D=0)
Tedy
$D=0:16k^{2}(k-3)^{2}-16(k-3)^{2}(1+k^{2})+32(1+k^{2})=0$
$(k-3)^{2}(k^{2}-1-k^{2})+2(1+k^{2})=0$
$2(1+k^{2})=(k-3)^{2}$
$k^{2}+6k-7=0$
$(k+7)(k-1)=0$
$k_{1}=-7,q_{1}=-20/k_{2}=1,q_{2}=-4$

vanok · 26. 01. 2017 13:18

Pozdravujem,
Tiez sa pytam, ci je ucinne dat hned vypocty, ked by stacilo popisat moznu metodu a cakat na spolupracu pytajuceho kolegu = autora otazky.
Pochopitelne po tejto étape, dat potom podrobne riesenie, preco nie, a to by malo o mnoho viac sily.

Su ine nazory?

vlado_bb · 26. 01. 2017 13:22

↑ vanok: Nazory su volne poedane dva. Prvy: mierne poradim a pockam na reakciu pytajuceho sa. Druhy: dam uplne riesenie, nech vsetci vidia aky som dobry.

Martethka · 26. 01. 2017 19:17

Děkuji všem za pomoc :-)

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2017 19:25

Analyticka geometrie v rovině

#2 25. 01. 2017 21:05 — Editoval misaH (25. 01. 2017 21:07)

Re: Analyticka geometrie v rovině

#3 25. 01. 2017 21:14

Re: Analyticka geometrie v rovině

#4 25. 01. 2017 22:45

Re: Analyticka geometrie v rovině

#5 25. 01. 2017 23:38

Re: Analyticka geometrie v rovině

#6 25. 01. 2017 23:59

Re: Analyticka geometrie v rovině

#7 26. 01. 2017 00:07

Re: Analyticka geometrie v rovině

#8 26. 01. 2017 00:16 — Editoval Jj (26. 01. 2017 00:17)

Re: Analyticka geometrie v rovině

#9 26. 01. 2017 09:29 — Editoval Cheop (26. 01. 2017 09:41)

Re: Analyticka geometrie v rovině

#10 26. 01. 2017 10:14

Re: Analyticka geometrie v rovině

misaH napsal(a):

#11 26. 01. 2017 10:27

Re: Analyticka geometrie v rovině

#12 26. 01. 2017 12:06 — Editoval Honzc (26. 01. 2017 12:07)

Re: Analyticka geometrie v rovině

#13 26. 01. 2017 13:18

Re: Analyticka geometrie v rovině

#14 26. 01. 2017 13:22

Re: Analyticka geometrie v rovině

#15 26. 01. 2017 19:17

Re: Analyticka geometrie v rovině

Zápatí