Matematické Fórum

liamlim

Zdravím. Prosím o radu, jak by se správně mělo postupovat při důkazu tvrzení typu:

Pro konstantu $\varphi$ definujme posloupnost: $a_{n+2} = 2\cdot\cos \varphi\cdot a_{n+1} - a_n$ , $a_1 = 1$ , $a_0 = 0$ . Dokažte, že pro libovolné $n$ platí $\frac{\sin n\varphi}{\sin \varphi} = a_n$ .

edit: původně bylo $\varphi = 1$ . doufám, že naznačené zobecnění bude fungovat.

liamlim

Odtud by též plynulo, že vzorec pro $n$ -tý člen posloupnosti

$a_{n+2} = k\cdot a_{n+1} - a_n$ , $a_1 = 1$ , $a_0 = 0$ je $a_n = \frac{\sin (n\cdot\arccos (\frac{k}{2}))}{\sin (\arccos (\frac{k}{2}))}$

Šlo by to nějak zjednodušit? Jen čitatel vím, že by šel upravit dle vztahu $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ , což však vztah o moc hezčí neudělá.

Funguje to! Tímto jde třeba odvodit vzorec pro $n$ -tý člen posloupnosti:

$a_{n+2} = 10\cdot a_{n+1} - a_n$ , $a_1 = 1$ , $a_0 = 0$ . Pak vyjde po úpravách: $a_n = \frac{1}{2\sqrt{6}}\cdot \sinh(n\cdot\ln(5 + 2\sqrt{6}))$ !! Což mě připadá docela překvapivé. Na první pohled bych podle vztahu pro $n$ -tý člen ani nepoznal, že se jedná o přirozené číslo.

Poprosil bych tedy o navedení k důkazu, když postup asi pravděpodobně funguje.

Brano · 03. 02. 2017 02:15 — Editoval Brano (03. 02. 2017 02:19)

danou rovnicou s pociatocnymi podmienkami je postupnost jednoznacne dana, takze ti staci tvoj odhad riesenia iba dosadit a overit spravnost a to je dokaz.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2017 22:51 — Editoval liamlim (03. 02. 2017 01:50)

sinus

#2 03. 02. 2017 01:41 — Editoval liamlim (03. 02. 2017 02:09)

Re: sinus

#3 03. 02. 2017 02:15 — Editoval Brano (03. 02. 2017 02:19)

Re: sinus

Zápatí