Matematické Fórum

Tse · 03. 02. 2017 20:04

$(\sqrt{x² + 2x} - x)^x$ Dobrý den,
mohli byste mě, prosím, nasměrovat v následujícím příkladu?
Bez užití L'Hospitalova pravidla a Taylorových polynomů spočtěte limitu funkce pro x blížící se nekonečnu:
$(\sqrt{x² + 2x} - x)^x$
Po úpravách vnitřku jsem se sice dostala k $(\frac{2}{ \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} )^{x}$ , čili vnitřek by měl sám o sobě limitu jedna, ale celé to samozřejmě jedna není a k ničemu kloudnému se nemůžu dopracovat. Zkoušela jsem to převést na mocninu e a nějakým způsobem využít ekvivalence $\mathrm{e}^{x} - 1$ , ale nezadařilo se...
Předem děkuji za rady

Tse · 03. 02. 2017 20:05

Aha, nezobrazuje se mi zadání, tak zkusím ještě jednou: $(\sqrt{x^2 + 2x} - x)^x$

Al1 · 03. 02. 2017 20:14

↑ Tse:

Zdravím,

tvá "limita" není dobře zadána. K čemu se blíží x?

Tse · 03. 02. 2017 20:19

K nekonečnu (neumí to zapsat jinak než slovně, omlouvám se...)

Al1 · 03. 02. 2017 20:44

↑ Tse:

použij úpravu

$(\sqrt{x^2 + 2x} - x)^x=\mathrm{e}^{\ln(\sqrt{x^2 + 2x} - x)^x }=\mathrm{e}^{x\cdot\ln (\sqrt{x^2 + 2x} - x)}$

Tse · 03. 02. 2017 20:57

Ano, k tomu jsem se dokonce i dostala, ale nedopracovala jsem se s tím k ničemu kloudnému. Konkrétně ten logaritmus jde k nule, ale x zase k nekonečnu.
Když logaritmus upravím na $\ln (1 + \frac{1-\sqrt{1+\frac{2}{x}}}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}})$ , tak můžu využít ekvivalence $\ln (1 + v) \approx v$ pro v jdoucí k nule, ale pak se dostávám na $\mathrm{e}^{\frac{x(1-\sqrt{1+\frac{2}{x}})}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}}$ . A co s tím, to vážně netuším...
Nebo už tahle úprava byla špatně?
Omlouvám se, pokud se ptám na úplné hlouposti, ale prostě to v tom nevidím...

Al1 · 03. 02. 2017 21:07

↑ Tse:

Já bych spíš volil

$\lim_{x\to\infty }\mathrm{e}^{x\cdot\ln (\sqrt{x^2 + 2x} - x)}=\mathrm{e}^{\lim_{x\to\infty }{x\cdot\ln (\sqrt{x^2 + 2x} - x)}}$ a potom
${\lim_{x\to\infty }{x\cdot\ln (\sqrt{x^2 + 2x} - x)}}=\lim_{x\to\infty }\frac{\ln (1+(\sqrt{x^2 + 2x} - x-1))}{\sqrt{x^2 + 2x} - x-1}\cdot (\sqrt{x^2 + 2x} - x-1)\cdot x$

Ten zlomek se blíží k jedné a zbytek už dořešíš

Tse · 03. 02. 2017 21:16

Já můžu limitu takto přesunout do mocniny? To jsem vůbec nevěděla! Očividně jsem ve skriptech něco vynechala nebo dostatečně nepochopila... Jdu se kouknout do skript a případně zagooglím, ale poradíš ještě, jaká věta / pravidlo mi tohle umožňuje? Každopádně díky!

Al1 · 03. 02. 2017 21:27 — Editoval Al1 (03. 02. 2017 21:32)

↑ Tse:

Můžeš nahlédnout třeba sem

K výpočtu limity užíváme větu o limitě složené funkce.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tse · 03. 02. 2017 21:44

Aha, tak takovéto využití složené funkce mě nenapadlo, to si doplním. Děkuji za rady!

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2017 20:04

Limita funkce

#2 03. 02. 2017 20:05

Re: Limita funkce

#3 03. 02. 2017 20:14

Re: Limita funkce

#4 03. 02. 2017 20:19

Re: Limita funkce

#5 03. 02. 2017 20:44

Re: Limita funkce

#6 03. 02. 2017 20:57

Re: Limita funkce

#7 03. 02. 2017 21:07

Re: Limita funkce

#8 03. 02. 2017 21:16

Re: Limita funkce

#9 03. 02. 2017 21:27 — Editoval Al1 (03. 02. 2017 21:32)

Re: Limita funkce

#10 03. 02. 2017 21:44

Re: Limita funkce

Zápatí